Глава 1 |
32 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
λ(∆x,∆y) = |
∂f (a +θ ∆x,b + ∆y) − ∂f |
(a,b), |
||
|
∂x |
1 |
∂x |
|
|
|
|
||
µ(∆y) = ∂fy (a,b +θ2∆y) − ∂fy (a,b),
∂∂
Всилу непрерывности частных производных ∂∂fx (x, y) и ∂∂fy (x, y) в точ-
ке c, имеют место равенства
lim λ(∆x,∆y) = 0, |
lim µ(∆y) = 0. |
∆x→0, |
∆x→0 |
∆y→0 |
|
Тогда из равенства ( ) находим: |
|
∆f (a,b) = ∂∂fx (a,b) ∆x + ∂∂fy (a,b) ∆y + (λ(∆x,∆y) ∆x + µ(∆y) ∆y) = = ∂∂fx (a,b) ∆x + ∂∂fy (a,b) ∆y +ν(∆x,∆y),
где ν(∆x,∆y) = λ(∆x,∆y) ∆x + µ(∆y) ∆y .
Остается заметить, что lim ν(∆x,∆y) = 0 .
∆x→0, ∆y→0
Теорема доказана.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f , определенная в некоторой области D
пространства n и имеющая в каждой точке области D частные производные (первого порядка) по всем переменным, непрерывные в области D, называется непрерывно дифференцируемой в области D .
7. Производная сложной функции
Предположим, что функция f определена и дифференцируема в не-
которой области D n , функции ϕ и ψ определены и дифференцируемы на некотором интервале I и для любой точки t I выполняется сле-
Глава 1 |
33 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
дующее соотношение: (ϕ(t),ψ (t)) D . Тогда на интервале I определена сложная функция u = f (ϕ(t),ψ (t)) . Покажем, что функция u =u(t) дифференцируема на интервале I , и найдем формулу для вычисления ее производной.
Выберем точку t I , зададим произвольное приращение ∆t переменной t , обозначим через ∆x и ∆y соответствующие приращения переменных x =ϕ(t), y =ψ (t) :
|
∆x =ϕ(t + ∆t) −ϕ(t) , ∆y =ψ(t + ∆t) −ψ (t). |
|
||||
В силу дифференцируемости функции |
f , имеет место соотношение |
|
||||
∆u = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) = A ∆x + B ∆y +α ∆x + β ∆y, |
( ) |
|||||
где A = ∂f (x, y) |
, B = ∂f (x, y) , α =α(∆x,∆y) , β = β(∆x,∆y) , причем α →0, |
|||||
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
β →0 при ∆x , |
∆y →0 . |
|
|
|
|
|
Тогда из соотношения ( ) находим: |
|
|
|
|
||
|
∆u = A |
∆x + B |
∆y |
+α ∆x |
+ β ∆y . |
|
|
∆t |
∆t |
∆t |
∆t |
∆t |
|
Переходим в полученном соотношении к пределу при ∆t →0. Учтем, что при этом ∆x , ∆y →0 , поскольку дифференцируемые функции ϕ и ψ являются непрерывными в любой точке своей области определения. Отсюда следует, что α =α(∆x,∆y) →0, аналогично получаем, что β →0 . Учитывая указанные выше значения величин A и B , получаем окончательно:
dudt = ∂∂fx dxdt + ∂∂fy dydt ,
или в развернутом виде:
dtd f (ϕ(t),ψ (t)) = ∂∂fx (ϕ(t),ψ (t)) dϕdt(t)
+ ∂∂fy (ϕ(t),ψ (t)) dψdt(t) .
Мы нашли формулу для нахождения производной сложной функции.
Глава 1 |
34 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
Аналогично рассматривается случай, когда x и y являются функциями нескольких переменных.
Как и выше, будем предполагать, что функция f определена и диф-
ференцируема в некоторой области D 2 . Предположим, что функции ϕ и ψ определены и дифференцируемы в некоторой области G 2 и для любой точки (t,τ) G выполняется соотношение: (ϕ(t,τ),ψ(t,τ)) D . Тогда в области G определена сложная функция u = f (ϕ(t,τ),ψ(t,τ)). Можно доказать, что эта функция дифференцируема в любой точке (t,τ) G , и имеют место равенства
|
∂u |
= ∂f |
∂x + |
∂f |
∂y , |
∂u |
= ∂f |
|
|
∂x |
+ ∂f |
|
∂y |
, |
|
|
|
∂t |
∂y |
∂τ |
|
∂τ |
|
∂τ |
|
||||||||
|
∂x |
∂t |
∂t |
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|||||||
или в развернутом виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∂f (ϕ(t,τ),ψ(t,τ)) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∂f (ϕ(t,τ),ψ (t,τ)) |
∂ϕ(t,τ) |
+ ∂f (ϕ(t,τ),ψ(t,τ)) |
|
∂ψ(t,τ) |
, |
||||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂t |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
∂f (ϕ(t,τ),ψ(t,τ)) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∂f (ϕ(t,τ),ψ (t,τ)) |
∂ϕ(t,τ) |
+ ∂f (ϕ(t,τ),ψ(t,τ)) |
|
∂ψ(t,τ) . |
|||||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂τ |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂τ |
|
|
Перейдем к примерам. В этих примерах предполагается, что рассматриваемые функции дифференцируемы, и сложная функция корректно определена.
1°. Рассмотрим функцию z = f (x, y) и выполним замену переменной y =ϕ(x) , то есть рассмотрим функцию одной переменной z = f (x,ϕ(x)) . Тогда имеем:
dxdz = ∂∂xz + ∂∂yz dydx .
Глава 1 |
35 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
Здесь учтено соотношение dxdx =1. Более аккуратно полученная формула записывается так
|
|
d |
|
f (x,ϕ(x)) = |
∂z |
(x,ϕ(x)) + ∂z (x,ϕ(x)) dϕ(x) . |
||||||||||
|
|
|
∂x |
|||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
dx |
||||
2°. Предположим, что функция f определена и дифференцируема на |
||||||||||||||||
плоскости 2 . Перейдем к полярным координатам |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = r cosϕ, |
y = r sinϕ , |
|
||||||
рассмотрим функцию |
h(r,ϕ) = f (r cosϕ,r sinϕ) |
и найдем частные произ- |
||||||||||||||
водные функции h по r |
и ϕ . Применяя формулу для производной слож- |
|||||||||||||||
ной функции, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂h |
= ∂f |
|
∂x + ∂f |
|
∂y |
= cosϕ ∂f +sinϕ ∂f , |
||||||||
|
|
∂r |
∂x |
|
∂r |
∂y |
|
∂r |
∂x |
∂y |
||||||
|
|
∂h |
= ∂f |
|
∂x |
+ |
∂f |
|
|
∂y |
|
= −r sinϕ ∂f |
+ r cosϕ ∂f . |
|||
|
|
∂ϕ |
∂x |
|
∂ϕ |
∂y |
|
|
∂ϕ |
∂x |
∂y |
|||||
8. Производные высших порядков
Предположим, что функция f определена в некоторой области
D 2 и в этой области определена одна из частных производный функции f . Эта производная также является функцией двух переменных. Если она имеет частную производную по одной из переменных в некоторой точке z0 = (x0, y0 ) D , то эта производная называется производной второго порядка в данной точке от исходной функции f . Используются следующие обозначения (разумеется, в предположении, что левая часть существует):
∂ |
∂f |
|
∂2 f |
|
∂2 f (x , y ) |
|
|
|
|
|
|
|
(x , y ) = |
|
(x , y ) = |
0 0 |
= f |
xx |
(x , y ), |
|
|
|
|||||||
|
0 0 |
∂x2 |
0 0 |
∂x2 |
|
0 0 |
|||
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|||
Глава 1 |
36 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
∂ |
∂f |
(x |
, y |
|
) = ∂2 f |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
∂x∂y |
|||
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ |
∂f |
(x |
, y |
|
) = |
∂2 f |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
∂y∂x |
|||
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ |
∂f |
(x |
, y |
|
|
) = |
∂2 f |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂y |
∂y |
|
|
∂ 2 |
|||||
|
0 |
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
(x0, y0 ) = ∂2 f∂(xx∂0y, y0 ) = fxy (x0, y0 ),
|
|
|
|
|
|
∂2 f (x , y |
|
) |
|
|
|
|
|||
(x |
, y |
0 |
) = |
|
|
0 0 |
|
|
= f |
yx |
(x , y ), |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
∂y∂x |
|
|
|
|
0 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂2 f (x |
|
, y |
) |
|
|
|
|
|
||
(x |
, y |
|
) = |
0 |
0 |
|
|
|
= f |
yy |
(x , y |
). |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Производные |
∂2 f |
и |
∂2 f |
носят название смешанных. Можно привести |
|
∂x∂y |
∂y∂x |
||||
|
|
|
пример, когда обе эти производные в некоторой точке существуют, но принимают разные значения. Если наложить на функцию f некоторые дополнительные ограничения, то смешанные производные будут совпадать. Справедливо следующее утверждение, которое мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 10. Если смешанные производные |
∂2 f |
и |
∂2 f |
определены |
|
∂x∂y |
∂y∂x |
||||
|
|
|
в окрестности некоторой точки (x0, y0 ) и непрерывны в этой точке, то имеет место равенство ∂∂x2∂fy (x0, y0 ) = ∂∂y2∂fx (x0, y0 ) .
Аналогично определяются производные более высоких порядков, например, в случае функции двух переменных, можно определить производные
∂3 f |
(x , y ), |
∂3 f |
(x , y ), |
∂3 f |
(x , y ), |
|
|
∂3 f |
(x , y ), |
|||||
∂x3 |
∂x2∂y |
∂y∂x2 |
|
∂x∂y∂x |
||||||||||
|
0 0 |
|
0 0 |
0 0 |
|
0 0 |
||||||||
∂3 f |
(x , y ), |
|
∂3 f |
(x , y ), |
|
∂3 f |
(x , y |
), |
∂3 f |
(x , y ). |
||||
∂x∂y2 |
|
∂y2∂x |
|
∂y∂x∂y |
∂y3 |
|||||||||
0 0 |
|
0 0 |
|
0 0 |
|
|
0 0 |
|||||||
Производные, получаемые путем дифференцирования по нескольким переменным (в предыдущих формулах — все, кроме первой и последней), называются смешанными.