- •Глава 1. Функции нескольких переменных
- •1. Предварительные определения
- •2. Открытые и замкнутые множества
- •3. Предел функции нескольких переменных
- •4. Функции, непрерывные в точке
- •5. Функции, непрерывные на множестве
- •6. Частные производные
- •7. Производная сложной функции
- •8. Производные высших порядков
- •9. Оператор Лапласа
- •10. Неявные функции
- •11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •12. Экстремумы функций нескольких переменных
- •Глава 2. Функциональные последовательности и ряды
- •1. Поточечная и равномерная сходимость.
- •2. Функциональные ряды.
- •3. Признаки Абеля и Дирихле
- •4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.
- •5. Степенные ряды
- •6. Ряд Тейлора
- •Исторические сведения
- •Абель
- •Адамар
- •Д’Аламбер
- •Больцано
- •Вейерштрасс
- •Дирихле
- •Коши
- •Лаплас
- •Лейбниц
- •Ньютон
- •Сильвестр
- •Тейлор
Глава 1 |
37 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
Лаплас
Для этих производных справедлив аналог предыдущей теоремы, которые мы сформулируем в следующем частном случае: если все смешан-
ные производные |
∂3 f |
, |
∂3 f |
, |
∂3 f |
определены в некоторой окрест- |
|
∂x2∂y |
∂x∂y∂x |
∂y∂x2 |
|||||
|
|
|
|
ности точки (x0, y0 ) и непрерывны в этой точке, то они принимают одинаковые значения в точке (x0, y0 ).
Аналогично определяются производные более высоких порядков. В заключение приведем следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f , определенная в некоторой области D
пространства n и имеющая в каждой точке области D все частные производные второго порядка, непрерывные в области D, называется дважды непрерывно дифференцируемой в области D .
9. Оператор Лапласа
Предположим, что функция u определена и дважды непрерывно дифференцируема в области D 2 . Поставим ей в соответствие функ-
цию ∆u , определенную в области D условием: ∆u = ∂2u + ∂2u . Отобра-
∂x2 ∂y2
жение ∆:u → ∆u называется оператором Лапласа.
ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда для оператора Лапласа используется следующая запись: ∆ = ∂∂x22 + ∂∂y22 .
Найдем выражение для оператора Лапласа в полярных координатах. Рассмотрим соотношения,
x = r cosϕ, y = r sinϕ. |
( ) |
Глава 1 |
38 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
связывающие декартовы и полярные координаты на плоскости. Выполним сначала вспомогательные построения — найдем частные производные от r и ϕ по x и y . Беря частные производные по переменной x , из соотношений ( ) получаем систему уравнений:
∂∂xr cos ϕ − r sinϕ ∂∂ϕx =1,
∂r sinϕ + r cosϕ ∂ϕ = 0.
∂x ∂x
Умножая первое уравнение на cosϕ , второе — на sinϕ и складывая полу-
ченные соотношения, находим, что ∂∂xr = cosϕ . Умножая первое уравнение на −sinϕ, а второе — на cosϕ и складывая полученные соотношения, по-
лучим: r |
∂ϕ |
= −sinϕ . Отсюда следует, что |
∂ϕ |
= −sinϕ |
. Дифференцируя |
|
∂x |
|
∂x |
r |
|
соотношения ( ) по y , аналогично находим: ∂∂yr =sinϕ , ∂∂ϕy = cosr ϕ .
Теперь, пользуясь найденными соотношениями, находим:
∂∂ux = ∂∂ur ∂∂xr + ∂∂ϕu ∂∂ϕx = cosϕ ∂∂ur − sinrϕ ∂∂ϕu , ∂∂uy = ∂∂ur ∂∂yr + ∂∂ϕu ∂∂ϕy =sinϕ ∂∂ur + cosr ϕ ∂∂ϕu .
Используя последние соотношения, находим (одинаковым цветом выделены фрагменты формул до и после преобразования):
|
|
|
|
∂2u |
|
∂ |
|
|
|
∂u |
|
|
sinϕ |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
cosϕ |
∂r |
− |
|
|
r |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∂ |
|
∂x |
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cosϕ |
∂ |
∂u |
+ |
∂ |
(cosϕ) |
∂u |
− |
sinϕ |
|
|
∂ |
|
∂u |
− |
|
∂ sinϕ |
|
∂u |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂x |
∂r |
|
r |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
r |
∂ϕ |
|||||||||||||||||||||
|
∂x |
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
∂x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
sinϕ |
|
|
∂2u |
|
sin2 ϕ |
|
∂u |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= cosϕ cosϕ |
∂r2 |
− |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
r |
|
|
∂r |
− |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 1 |
39 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
sinϕ |
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
sinϕ |
|
|
∂2u |
|
|
|
|
||||||||
− |
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||||||
|
r |
|
∂r∂ϕ |
r |
|
∂ϕ2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
cosϕ |
|
− |
sinϕ |
r −sinϕ cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
r |
|
∂u |
|
|
|
|||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|||||||||
|
= cos |
2 |
ϕ |
∂2u |
− |
|
2sinϕcosϕ |
|
|
∂2u |
|
+ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂r2 |
|
|
r |
|
|
∂r∂ϕ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+sin2 ϕ |
|
∂2u |
|
+ sin2 ϕ ∂u |
+ 2sinϕcosϕ |
∂u |
. |
|||||||||||||||||||
∂ϕ2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
r2 |
|
|
|
r |
|
∂r |
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
∂ϕ |
Аналогично находим соотношение
∂2u |
=sin |
2 |
ϕ |
∂2u |
+ |
2sinϕcosϕ |
|
∂2u |
+ |
∂y2 |
|
∂r2 |
r |
∂r∂ϕ |
|||||
|
|
|
|
|
|
+ cos2 ϕ |
|
∂2u |
+ |
r2 |
|
∂ϕ2 |
|
Из найденных формул для ∂2u
∂x2
cos2 ϕ |
|
∂u |
− |
2sinϕcosϕ |
|
∂u |
. |
|
r |
∂r |
r2 |
∂ϕ |
|||||
|
|
|
|
и∂2u , окончательно находим:
∂y2
∆u = |
∂2u |
+ |
1 |
|
∂2u |
+ |
1 |
|
∂u . |
|
∂r2 |
r2 |
∂ϕ2 |
r |
|||||||
|
|
|
|
|
∂r |
10. Неявные функции
Предположим, что на плоскости 2 задана некоторая функция F .
Рассмотрим |
множество всех точек, |
удовлетворяющих уравнению |
F(x, y) = 0. |
Часто при дополнительных |
условиях для некоторых значе- |
ний x можно найти единственное значение y , удовлетворяющее уравнению F(x, y) = 0. Такой способ задания функции y = y(x) называется неявным, а сама эта функция — неявной. Функция y = y(x) при некоторых условиях будет и дифференцируемой.
Глава 1 |
40 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
Справедливо следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 11. Предположим, что функция F имеет в некоторой ок-
рестности точки (x , y ) непрерывные частные производные |
∂F , |
∂F и |
||||
0 |
0 |
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
||
выполняются следующие условия: F(x , y ) = 0, ∂F(x0, y0 ) |
≠ 0 . |
Тогда су- |
||||
|
0 |
0 |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ществует прямоугольник {(x, y) :| x − x0 |≤α, | y − y0 |≤ β}, в котором функ-
ция ∂∂Fy (x, y) нигде не обращается в ноль и уравнение F(x, y) = 0 определя-
ет y как неявную функцию от x . Последняя функция является непрерывно дифференцируемой на интервале (x0 −α, x0 +α) и ее производная мо-
|
|
− |
∂F (x, f (x)) |
|
|||
жет быть найдена по формуле f |
′ |
|
|
∂x |
|
||
|
|
|
|
|
|||
(x) = |
∂F |
(x, f (x)) . |
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
∂y |
|
|||
Мы опускаем доказательство этой теоремы. Поясним только ее фор- |
|||||||
мулировку. Теорема утверждает, |
что для любого x [x0 −α, x0 +α] |
урав- |
|||||
нение F(x, y) = 0 с неизвестной y имеет единственное решение y , |
при- |
надлежащее отрезку [y0 − β, y0 + β]. Обозначим эту функцию следующим образом: y = f (x). Теорема утверждает, что эта функция непрерывно дифференцируема во всех внутренних точках отрезка [x0 −α, x0 +α]. Из условия F(x0, y0 ) = 0 следует, что выполняется равенство f (x0 ) = y0 , то есть график этой функции проходит через точку (x0, y0 ).
Покажем, как выглядят эти условия в случае окружности на плоско-
сти.
Рассмотрим уравнение F(x, y) = 0, где F(x, y) = x2 + y2 −1. Функция F имеет непрерывные производные во всех точках плоскости. Уравнение F(x, y) = 0 задает единичную окружность. Имеет место равенство
Глава 1 |
41 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
∂F(x, y) = 2y .
∂y
Воспользуемся приведенной теоремой. Возьмем любую точку (x0, y0 ),
удовлетворяющую условию F(x0, y0 ) = 0. Условие ∂F(x0, y0 ) = 2y0 ≠ 0 да-
∂y
ет дополнительное ограничение y0 ≠ 0 , то есть точка окружности (x0, y0 ) не принадлежит оси Ox . Теорема утверждает, что существует прямоугольник с центром в точке (x0, y0 ), в котором уравнение F(x, y) = 0 определяет y как однозначную функцию от x .
Это видно на приведенном выше рисунке, где точка окружности, указанная справа может быть окружена прямоугольником (прямоугольник зеленого цвета), обладающим указанными в формулировке теоремы свойствами. Точка окружности, лежащая на оси абсцисс, то есть не удовлетворяю-
щая условию ∂F(x0, y0 ) ≠ 0 , не может быть окружена таким прямоуголь-
∂y
ником (один из вариантов — прямоугольник красного цвета). В частности, в такой прямоугольник попадают точки, абсциссы которых удовлетворяют условию x < −1. Точек с такими абсциссами на рассматриваемой окружности нет. Кроме того, для точек оси абсцисс, удовлетворяющих условию x > −1 и попадающий в прямоугольник красного цвета, имеются два зна-
Глава 1 |
42 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
чения y , для которых выполняется соотношение F(x, y) = 0. Подчеркнем, что отмеченные свойства имеют место для любого прямоугольника с центром в точке (−1,0) .
Вернемся к формулировке теоремы и выведем формулу для нахождения производной неявной функции. При выполнении ее условий найдет-
ся единственная функция |
y = f (x), x0 −α ≤ x ≤ x0 +α , такая, |
что для всех |
значений x из указанного промежутка выполняется соотношение |
||
|
F(x, f (x)) = 0. |
|
Если x0 −α < x < x0 +α , |
то функция f непрерывно дифференцируема. |
|
Дифференцируя тождественное соотношение F(x, f (x)) ≡ 0 |
по x при |
x0 −α < x < x0 +α , получаем:
d |
F(x, f (x)) ≡ 0, |
∂F |
(x, f (x)) + |
∂F |
(x, f (x)) df (x) |
≡ 0. |
|
dx |
∂x |
∂y |
|||||
|
|
dx |
|
Отсюда, разрешая последнее соотношение относительно f ′(x), находим искомую формулу.
ПРИМЕР. Доказать, что для уравнения
2x3 y − y5 −3x3 +5x2 −7x +3 = 0
выполняются условия теоремы в точке (2,1). Найти производную неявной функции y = y(x).
РЕШЕНИЕ. Имеем соотношения
(2x3 y − y5 −3x3 +5x2 −7x +3) x=2 = 0 ,
y=1
∂ |
(2x3 y − y5 −3x3 +5x2 −7x +3) |
|
= (2x3 −5y4 ) |
|
x=2 =11≠ 0. |
|
|
|
|||||
∂y |
x=2 |
|||||
|
|
|
y=1 |
|||
|
|
|
||||
|
|
y=1 |
|
|
|
Отсюда следует, что существует прямоугольник с центром в точке (2,1), для которого справедливо утверждение теоремы о неявной функции. Учитывая, что