того, для любых x [0,+∞) и n имеет место оценка 0 ≤ arctg nx < π2 . Из признака Абеля выводим, что функциональный ряд

равномерно сходится на промежутке [0,+∞) .

4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.

В этом разделе рассматриваются следующие вопросы: предположим, что все элементы функциональной последовательности обладают некоторым свойством (например, непрерывны на некотором промежутке). Будут указаны достаточные условия, при выполнении которых это свойство сохраняется и для предельной функции. Все доказываемые утверждения имеют точные аналоги в случае рядов. Эти утверждения будут только сформулированы, поскольку они являются непосредственными следствиями соответствующего факта для функциональной последовательности.

Мы доказали, что | f (x) − f (x0 ) |<ε для всех x I , удовлетворяющих неравенству | x − x0 |<δ . В силу произвольности ε , это означает, что функция f непрерывна в точке x0 .

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. При выполнении условий теоремы из ее утверждения вытекает следующее равенство:

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть { fn}+∞n=1 — последовательность функций непре-

рывных на промежутке I . Если эта последовательность сходится на промежутке I равномерно к функции f , то функция f также непрерыв-

на на этом промежутке.

СЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что все члены функционального ряда

+∞

∑an (x) определены и непрерывны на промежутке I . Если ряд сходится

n=1

+∞

на промежутке I равномерно, то его сумма S(x) = ∑an (x) непрерывна

n=1

на отрезке [a,b].

n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим Sn (x) = ∑ak (x) , x [a,b]. Тогда

k=1

Sn (x) S(x), x [a,b].

Каждая из функций Sn непрерывна на отрезке [a,b]. Применяя следствие 1, получаем требуемый результат.

ЗАМЕЧАНИЕ. Допустим, что последовательность функций { fn}+∞n=1 , оп-

ределенных на промежутке I поточечно сходится на этом промежутке к функции f . Если при этом равномерная сходимость не имеет места, то

предельная функция может оказаться разрывной. Например, рассмотрим

прерывна на отрезке [0,1]. Предельная функция f удовлетворяет условиям: f (x) = 0 , если 0 ≤ x <1, f (1) =1 .Таким образом функция f не является непрерывной на отрезке [0,1]. Подчеркнем, что рассматриваемая функциональная последовательность сходится на отрезке [0,1] к предельной функции f поточечно, но неравномерно.

Перейдем теперь к вопросу об интегрировании членов функциональной последовательности.

ТЕОРЕМА 9. Пусть { fn}+∞n=1 — последовательность функций, определенных и интегрируемых на отрезке [a,b]. Если эта последовательность равномерно сходится на отрезке [a,b] к функции f , то эта функция также интегрируема на этом отрезке и для любой точки c [a,b] имеет место равномерная сходимость

дем предполагать, что все функции fn непрерывны на отрезке [a,b]. Тогда, в силу следствия предыдущей теоремы, предельная функция f непрерывна на отрезке [a,b] и, следовательно интегрируема на этом отрезке.

Докажем сходимость интегралов от рассматриваемых функций. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , чтобы для всех n ≥ N и всех x [a,b] выполнялось неравенство | fn (x) − f (x) |<ε . Тогда для всех n ≥ N

и x [a,b] получаем:

x

≤ ∫| fn (x) − f (x) |dx ≤ε | x −c |≤ε (b − a).

c

В силу произвольности ε и x , полученная оценка означает наличие искомого соотношения для интегралов.

Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть { fn}+∞n=1 — последовательность функций, определенных и интегрируемых на отрезке [a,b]. Если эта последовательность равномерно сходится на отрезке [a,b] к функции f , то функция f также интегрируема на этом отрезке и

то есть утверждается, что модно поменять порядок следования операций интегрирования и предельного перехода.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Доказанная теорема и следствие 1 носят название теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Отметим, что требование равномерной сходимости утверждение теоремы может оказаться неверным. Рассмотрим, например, последовательность функций

рассматриваемая последовательность поточечно сходится к нулевой функции. Поэтому соотношение

и, следовательно, max fn (x) → +∞ при n → +∞.

0≤x≤1

Графики рассматриваемых функций при n =1, 2 , 3, 4 и 5 приведены на следующем рисунке. Отметим, что по осям выбраны разные масштабы.

СЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что все члены функционального ряда

+∞

∑un (x) определены и интегрируемы на отрезке [a,b] и ряд равномерно

k=1

сходится на этом отрезке. Тогда для любой точки c [a,b]и имеет место равенство

причем ряд в правой части равномерно сходится на отрезке [a,b].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно положить

n

fn (x) = ∑uk (x), x [a,b], n =1,2,

k=1

ивоспользоваться утверждением теоремы.

СЛЕДСТВИЕ 3. Предположим, что все члены функционального ряда

+∞

∑un (x) определены и интегрируемы на отрезке [a,b] и ряд равномерно

k=1

сходится на этом отрезке. Тогда имеет место равенство

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Следствия 2 и 3 носят название теоремы о почленном интегрировании функционального ряда.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Следствия 1 и 3 остаются в силе и без предположения, что a <b . Например, справедливо такое утверждение.

+∞

Предположим, что все члены функционального ряда ∑un (x) опре-

k=1

делены и интегрируемы на отрезке [A, B] и ряд равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма этого ряда интегрируема на отрезке [A, B] и для любых a ,b [A, B] имеет место равенство