Докажем теперь замкнутость множества X . Для этого нужно док а- зать, что это множество содержит все свои предельные точки. Предположим, что {xk }+∞k=1 — последовательность точек множества X , сходящаяся к

некоторой точке a n . В силу условия 2) , эта последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке множества X . Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности {xk }+∞k=1 сходится к точке a . Следовательно, a X .

Теорема доказана.

Пусть x1 , x2 , …, xn — функции, определенные и непрерывные на некотором отрезке [a,b]. Множество точек

L ={(x1(t), x2 (t), , xn (t)) :t [α,β]}

пространства n называется непрерывной кривой в этом пространстве.

Точки a = (x1(α), x2 (α), , xn (α)) и b = (x1(β), x2 (β), , xn (β)) называются

концами кривой L . Говорят, что кривая L соединяет точки a и b. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество M n называется связным, если для

любых точек a , b M существует непрерывная кривая, соединяющая эти точки и целиком лежащая в множестве M .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Областью в пространстве n называется открытое связное множество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Замыкание G области G n называется замкнутой областью.

3. Предел функции нескольких переменных

Пусть X n — некоторое непустое множество. Будем рассматривать числовые функции, определенные на множестве X , то есть отобра-

ка a является предельной для этого множества. Число A называется пределом функции f по множеству X при x → a , если по любому ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех x X , удовлетворяющих условию

0 <| x − a | <δ ,

выполняется неравенство | f (x) − A |<ε .

Число A из приведенного определения находится однозначно. Мы

функций одной переменной. В частности, имеют место следующие два утверждения, доказательства которых совершенно аналогичны случаю одной переменной.

ТЕОРЕМА 3 (КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ).

Предположим, что функция f определена на множестве X , и точка a

является предельной для этого множества. Следующие условия эквивалентны:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функция f непрерывна в точке a , если

lim f (x) = f (a).

x→a, x X

Переформулируем это определение. По любому ε > 0 найдется та-

кое δ > 0, что для всех x X , удовлетворяющих условию | x − a |<δ выполняется неравенство | f (x) − f (a) |<ε .

ЗАМЕЧАНИЕ. Определение непрерывности может быть переформулировано в терминах окрестностей. По любому ε > 0 найдется такая окре-

стность U (a) , что для всех x X ∩U (a) выполняется неравенство

| f (x) − f (a) |<ε .

Мы не будем приводить свойства непрерывных функций нескольких переменных, аналогичные свойствам функций одной переменной (если две функции непрерывны в некоторой точке, то их сумма, разность и произведение также непрерывны в этой точке и т.д.).

Остановимся только на вопросе о непрерывности сложной функции.

ТЕОРЕМА 5. Предположим, что

1)функция f определена на некотором множестве X n и непрерывна в предельной точке a = (a1,a2, ,an ) множества X ;

2)функции g1(t), g2 (t), …, gn (t) определены на некотором множе-

стве T m и каждая из них непрерывна в предельной точке b T множества T ;

3) для любой точки t T выполняется соотношение

(g1(t), g2 (t), , gn (t)) X .

Тогда сложная функция

z = f (g1(t), g2 (t), , gn (t))

определенная, в силу условия 3), на множестве T , непрерывна в точке b.