Глава 2 |
96 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
Из соотношения f (0) (0) = f (0) = a |
|
= 0! a |
получаем, что для любого k ≥ 0 |
|||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
f (k) (0) |
|
|||
имеет место равенство f (k) (0) = k!a |
k |
, то есть a = |
. |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
k! |
|||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В силу теоремы 15, разложение функции f может быть переписано |
||||||||||
следующим образом: |
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
||
+∞ |
(0) |
|
|
|
|
|||||
f (x) = ∑ |
f |
|
xn , |
− R < x < R. |
||||||
|
|
|
||||||||
n=0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|||
6.Ряд Тейлора
Впредыдущем разделе мы ввели функцию, являющуюся суммой степенного ряда, и рассмотрели некоторые ее свойства. В этом разделе будем решать в некотором смысле обратную задачу: дана некоторая функция
итребуется указать условия, при которых она может быть представлена в некотором промежутке в виде суммы степенного ряда. Напомним некоторые утверждения, доказанные нами в предыдущих разделах курса.
Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности
точки x = 0, имеет в этой окрестности все производные вплоть до порядка n −1 включительно и производную порядка n в самой точке x = 0. Тогда функция f (x) может быть представлена в этой окрестности в следую-
щем виде:
f (x) = k∑n f (kk)!(0) xk + rn (x),
=0
где rn (x) называется остаточным членом формулы Тейлора.
При дополнительном предположении, что функция f имеет в рассматри-
ваемой окрестности все производные вплоть до порядка n +1 включительно, остаточный член rn (x) может быть представлен в следующем виде:
rn (x) = f (n+1)(ξ) xn+1, (n +1)!
где ξ — точка. лежащая между точками 0 и x .
Указанное представление остаточного члена называется остаточным чле-
ном в форме Лагранжа.
Предположим, что функция f бесконечно дифференцируема в неко-
+∞ |
(n) |
(0) |
|
|
|
торой окрестности нуля. Степенной ряд ∑ |
f |
|
xn |
называется рядом |
|
|
|
|
|||
n=0 |
n! |
|
|||
Тейлора функции f в точке 0.
Глава 2 |
97 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
Справедливо следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 16. Предположим, что функция f имеет производные всех
порядков на интервале |
I = (−a,a) |
и существует такая константа M , |
|||||
что выполняется оценка | f (n) (x) |≤ M для всех x I , |
n = 0, 1, 2 , …. Тогда |
||||||
ряд Тейлора функции f |
сходится на этом промежутке и имеет место |
||||||
равенство |
+∞ |
(n) |
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|||
f (x) = ∑ |
f |
|
xn , |
− a < x < a. |
|
||
|
|
|
|
||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
n=0 |
n! |
|
f (x) и частичной |
|||
Разность |
между |
значениями |
|||||
суммой ее ряда Тейлора оценим как остаточный член в форме Лагранжа:
n |
(k) |
(0) |
|
|
|
f |
(n+1) |
(ξ) |
|
|
n+1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (x) − ∑ |
f |
|
|
=| rn (x) |= |
|
|
xn+1 |
≤ M |
| x | |
|
, x (−a,a), |
|||
|
k! |
(n +1)! |
(n +1)! |
|||||||||||
k=0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |ξ |≤| x |< a .
Остается заметить, что для любого значения x имеет место равенство
lim |
| x |n+1 |
|
|
= 0, |
|||
|
|||||||
n→+∞ (n +1)! |
|
||||||
и, следовательно, для любого x (−a,a) |
|
||||||
n |
(k) |
(0) |
|
|
|
||
lim ∑ |
f |
|
|
|
= f (x). |
||
|
k! |
||||||
n→+∞ k=0 |
|
||||||
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. В общем случае ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции может не сходиться к этой функции. Рассмотрим например функцию, задаваемую на всей вещественной оси условиями:
f (x) = e−1
x2 , x , x ≠ 0, f (0) = 0. Нетрудно показать, что эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и имеет место равенство f (n) (0) = 0 , n = 0, 1, 2, … . Отсюда следует, что ее ряд Тейлора я в-
ляется тождественно нулевым. Однако сама функция при любом ненулевом значении аргумента принимает положительные значения, то есть отлична от суммы ряда Тейлора.
Приведем примеры разложения функций в ряд Тейлора. 1. Пусть f (x) = cos x , x .
Имеет место равенство f (n) (x) = cos |
|
πn |
|
n = 0, 1, 2… , x . |
|
x + |
|
|
, |
||
|
|||||
|
|
2 |
|
имеет место оценка |
|
Отсюда получаем, что для любого вещественного |
x |
||||
| f n (x) |≤1. В силу предыдущей теоремы, |
для любого вещественного x |
||||
функция равна сумме своего ряда Тейлора, и получаем равенство
Глава 2 |
98 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
x |
6 |
+∞ |
x |
2n |
|
|
cos x =1− |
|
+ |
|
− |
|
+ = ∑(−1)n |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|||||||
2! |
4! |
6! |
n=0 |
|
|||||||||
2. По аналогии с предыдущим случаем рассматривается функция f (x) =sin x , x . Для нее доказываем, что для любого вещественного x
имеет место равенство
|
x |
3 |
|
|
x |
5 |
|
x |
7 |
|
+∞ |
x |
2n+1 |
|
|
sin x = x − |
|
|
+ |
|
− |
|
+ = |
∑(−1)n |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
||||||||
3! |
|
5! |
7! |
|
n=0 |
|
|||||||||
3. Рассмотрим функцию |
f (x) = ex , |
x . Эта функция бесконечно |
|||||||||||||
дифференцируема на всей |
вещественной |
оси и имеет место равенство |
|||||||||||||
f (n) (x) = ex , x . Выберем произвольное a > 0. |
Тогда |
для x (−a,a) |
|||||||||||||
имеем оценку | f (n) (x) |= ex < ea . В силу предыдущей теоремы, ряд Тейлора
данной функции сходится к этой функции на указанном промежутке. Из произвольности числа a следует, что указанная сходимость имеет место на всей вещественной оси. Таким образом, для любого x имеем равенство
|
|
x |
2 |
|
x |
3 |
+∞ |
x |
n |
|
ex =1 |
+ x + |
|
+ |
|
+ = ∑ |
|
. |
|||
|
|
|
|
n! |
||||||
|
2! |
3! |
n=0 |
|
||||||