5. Степенные ряды

Из неравенства | x1 |<| x0 | следует, что 0 ≤ q <1. Мы доказали, что числовой

+∞

ний ряд сходится и, следовательно, сходится числовой ряд ∑| an x1n |.

n=0

Второе утверждение теоремы является непосредственным следствием первого.

Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Если степенной ряд сходится в точке x0 ≠ 0 , то для любого числа ρ , удовлетворяющего условию 0 < ρ <| x0 | , ряд сходится на отрезке [−ρ, ρ] абсолютно и равномерно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Абсолютная сходимость ряда для любого значения x [−ρ, ρ] доказана в самой теореме. В частности ряд абсолютно сходится

в точке x = ρ :

+∞

∑| an |ρn < +∞.

n=0

Отсюда в силу признака Вейерштрасса вытекает равномерная сходимость рассматриваемого степенного ряда на отрезке [−ρ, ρ]. Действительно для

любого x [−ρ, ρ] выполняется оценка

| an xn |=| an | | x |n ≤| an | ρn , n = 0,1,2, .

Следствие доказано.

+∞

ТЕОРЕМА 12. Для любого степенного ряда ∑an xn существует та-

n=0

кое R ( R ≥ 0 или R = +∞), что:

1) если R = 0, то ряд расходится при любом ненулевом значенииx ; 2) если 0 < R < +∞, то ряд абсолютно сходится для любого вещест-

венного x , удовлетворяющего неравенству | x |< R , и расходится для любого значения x , удовлетворяющего неравенству | x |> R ;

3) если R = +∞, то ряд абсолютно сходится для любого вещественного x ..;

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через D множество всех x , для которых степенной ряд сходится. Это множество является непустым, поскольку оно содержит значение x = 0. Положим R =sup{| x |: x D}. Тогда

0 ≤ R < +∞ или R = +∞.

Предположим, что R = 0. Тогда D ={0}, и степенной ряд расходится при любом ненулевом значении x .

Предположим, что 0 < R < +∞ . Из определения числаR следует, что степенной ряд расходится при любом значении x , удовлетворяющем условию | x |> R . Выберем произвольное значение x0 удовлетворяющее усло-

вию | x0 |< R . По определению точной верхней грани существует такой элемент x1 D , что | x1 |>| x0 |. Снова применяя теорему Абеля, из сходимости степенного ряда в точке x1 выводим его абсолютную сходимость в

точке x0 .

Предположим, что R = +∞. Покажем, что степенной ряд абсолютно сходится при любом вещественном значенииx . Действительно, выберем произвольное x0 . По определению точной верхней грани существует

такой элемент x1 D , что | x1 |>| x0 |. Степенной ряд сходится в точке x = x1. Из теоремы Абеля вытекает, что он абсолютно сходится в точке x0 .

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Число R из формулировки теоремы определяется степенным рядом единственным образом. Это число называется радиусом сходимости степенного ряда. Отметим, что в теореме ничего не говорится о сходимости или расходимости степенного ряда при условии | x |= R в

случае 0 < R < +∞, то есть при x = R или x = −R . Ниже мы на конкретных примерах убедимся, что степенной ряд в этих точках может как сходиться, так и расходиться.

Приведем теперь теоремы о вычислении радиуса сходимости сте-

+∞

пенного ряда ∑an xn .

n=0

ТЕОРЕМА 13. Предположим, что существует конечный или беско-

нечный предел ρ = lim n | an | . Тогда

n→+∞

1.R = +∞, если ρ = 0;

2.R = ρ1 , если 0 < ρ < +∞;

3.R = 0, если ρ = +∞.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что ρ = 0, и покажем, что степен-

+∞

ной ряд ∑an xn абсолютно сходится при любом вещественном значении x .

n=0

Для этого воспользуемся признаком Коши сходимости числового ряда в предельной форме:

В силу признака Коши, ряд абсолютно сходится.

Предположим, что 0 < ρ < +∞. Покажем, что степенной ряд сходится при любом значении x , удовлетворяющем условию | x < ρ1 . Действитель-

но, в этом случае

В силу признака Коши, рассматриваемый числовой ряд является сходящимся.

Аналогично доказывается, что при любом значении x , удовлетворяющим условию | x |> ρ1 , степенной ряд расходится, и анализируется слу-

чайρ = +∞.

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Вводя естественные соглашения 10 = +∞ и +∞1 = 0, при-

веденные в теореме формулы для вычисления радиуса сходимости можно объединить следующим образом:

в предположении, что существует конечный или бесконечный предел в знаменателе.

Доказательство следующей теоремы, основанное на признаке д’Aламбера в предельной форме, предоставляется читателю.

ЗАМЕЧАНИЕ. В общем случае радиус сходимости степенного ряда может быть найден по следующей формуле

называемой формулой Коши-Адамара. Здесь lim означает верхний предел

n→+∞

последовательности, который для произвольной неотрицательной после-

довательности всегда существует и может принимать числовое значение из промежутка [0,+∞) или значение +∞.

+∞

Рассмотрим степенной ряд ∑an xn с ненулевым радиусом сходимо-

n=0

сти R . Тогда для всех вещественных значений x , удовлетворяющих усло-

+∞

вию | x |< R определена функция f (x) = ∑an xn . В этом случае говорят,

n=0

что функция f представлена в виде суммы степенного ряда. Отметим, что

f (0) = a0 , то есть коэффициенту при x0 . Рассмотрим некоторые свойства такой функции. Докажем сначала вспомогательные утверждения.

+∞

ЛЕММА 1. Радиусы сходимости степенных рядов ∑an xn и

n=0

+∞

∑nan xn−1

n=1

совпадают.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся рассмотрением частного случая. Предположим, что существует конечный или бесконечный предел

ρ = lim n | an | . Как было показано в предыдущем разделе, в этом случае

n→+∞

вытекает из того, что при любом x эти ряды сходятся или расходятся одновременно. Действительно, при x = 0 сходится любой степенной ряд. При x ≠ 0 второй ряд может быть получен из первого путем умножения на x , а ряды, отличающиеся ненулевым множителем, сходятся или расходятся одновременно. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда

поскольку lim n n =1. Это означает, что радиус сходимости ряда

n→+∞

+∞

∑nan xn−1

n=1