Динамики

(П. В. П. и О. У. .)

П.В.П. является ещё одним общим принципом при решении задач механики. Он устанавливает в наиболее общем виде условия равнове-сия любой механической системы. В статике для определения (записи) условий равновесия системы тел приходилось рассматривать равнове-сие каждого тела этой системы. Если тел много, то система уравнений получалась большой. При определении (записи) условий равновесия системы тел по П. В. П. рассматриваются перемещения, которые можно сообщить точкам или телам механической системы, чтобы вывести её из занимаемого равновесного положения.

Возможные перемещения точки и системы.

Действительное перемещение свободной математической точки вы-звано действующими на точку силами и начальной скоростью. Если от-влечься от сил и скоростей, то свободная математическая точка

м ожет перемещаться в лю-бом направлении. Если на точку наложить связь, за-прещающую ей двигаться в каком-либо направлении, то уже не любое перемещение точки возможно.

Возможным (виртуальным) перемещением точки называется любое, допускаемое наложенными связями, бесконечно малое изохронное перемещение точки. Любое перемещение точки можно выразить через некоторые независимые её перемещения.

Число независимых возможных перемещений точки над числом её степеней свободы.

Механическая система - совокупность взаимодействующих ма-

Это взаимодействие может быть активным, а может быть в виде связи. Взаимодействие между точками твёрдого тела осуществляется связями - при любом движении тела расстояния между точками не-изменны.

На точки системы могут быть наложены внешние связи.

Например: опора О, на точку О кривошипа.

В механической системе, состоящей из свободных точек, каждая точка может иметь любые возможные перемещения, которые можно предста-вить через 3 n независимых перемещения. У такой системы 3 n степеней свободы. Связи устраняют или определяют (задают) некоторые незави-симые возможные перемещения.

Например: любое возможное перемещение точек твёрдого тела в ви-ду наличия внутренних связей можно представить (выразить) через 6 независимых перемещений. Если на это тело наложены ещё внешние связи, то независимых возможных перемещений меньше и возможных перемещений меньше.

Н апример: тело вращается вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим какое-либо возможное переме-щение механической системы, при котором её каждая точка получает возможное перемещение

Наложенные внешние связи устранили перемещение точек на оси (т. А и т. В). Любая третья точка С тела в виду наличия ещё и внутренних связей имеет одно возможное перемещение ┴СО в плоскости перпендикулярной оси АВ. Любая совокупность бесконечно малых возможных перемещений точек системы, допускаемых наложенными связями, называется перемещением системы.

Если сумма работ реакций связей, наложенных на систему, на любом возможном перемещении равна 0, то такие связи называются идеаль-ными.

Например, внутренние связи абсолютно твёрдого тела, связь – иде-ально-гладкая поверхность при скольжении нерастяжимая нить.

Принцип возможных перемещений.

Рассмотрим механическую систему с идеальными связями, нахо-дящуюся в равновесии. Каждая точка этой системы также находится в

равновесии, поэтому

Просуммируем работы всех сил, приложенных по всем точкам системы

Таким образом, сумма работ активных сил, действующих на систему, находящуюся в равновесии, на любом возможном её перемещении,

Для равновесия механической системы с идеальными связями не-обходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на неё активных сил на любом возможном перемещении равнялась 0.

Уравнений типа (*) для систем составляют по числу степеней свободы,

т.е. для каждого независимого перемещения системы.

Если наложены не идеальные связи (с трением), то реакции этих связей

считают активными силами и используют П.В.П.

Общее уравнение динамики.

П.В.П. используют для решения задач статики о равновесии систем. Принцип Г.-Э.-Д'Аламбера решает задачи динамики методами статики. Используя оба принципа, получают ещё один общий метод решения за-дач динамики.

55

Рассмотрим систему материальных точек с идеальными связями. Если

Уравнения (**) выражают общее уравнение динамики.

В любой момент времени сумма работ всех активных сил и сил инерции материальных точек механической системы с идеальными связями при любом возможном перемещении равна 0. Уравнения (**) позволяют получить систему дифференциальных уравнений движения любой механической системы. Количество уравне­ний соответствует числу степеней свободы системы, т.е. уравнения типа (**) составляются для каждого независимого возможного перемещения системы.

56

Дифференциальные уравнения движения механической систе­мы в обобщенных координатах.

Обобщенные координаты (перемещения)

ОК - независимые между собой параметры, однозначно представляю- щие положение механической системы в любой момент времени. Обо- значают q₁, q₂... q_n

называют уравнениями движения системы в ОК.

Положение любой точки механической системы в пространстве выра­жается через ОК. Следовательно, для т. А_к её радиус-вектор и r_k координаты x_k, y_k, z_k являются функциями ОК

Производная по t от OK q_i называется i^ой обобщенной скоростью. Обо­значают q_i

Для механической системы, у которой все связи - геометрические, т.е. дающие ограничение перемещениям точек системы, а не их скоростями, число ОК равно числу степеней свободы (ЧСС), числу независимых возможных перемещений.

Простейшей механической системой является абсолютно твердое тело. В кинематике твердого тела было установлено, что положение твердого тела полностью определяется конечным числом независимых параметров, которые и есть ОК твердого тела как механической систе­мы.

Рассматривая кинематику каждого вида движения твердого тела, мы установили независимые параметры, через которые удобно выражать перемещения любой точки этого тела.

n=6

Эти параметры можно принимать за ОК при составлении дифферен-циальных уравнений движения этих тел в ОК.

Но можно за ОК взять и другие параметры твердого тела, только npi/ выполнении условия взаимной независимости.

ОК могут быть как угловыми, так и линейными перемещениями. Соот­ ветственно обобщенными скоростями q_i, могут быть угловые или линейные скорости.

Механическая система с геометрическими связями состоящая из не­скольких тел имеет ЧСС, т. е. число ОК, равное сумме ЧСС её отдель­ных тел.

Независимым считаем положение тела 1

Обобщенные силы.

Механическая система с геометрическими связями из «м» материаль-ных точек. На точки действуют силы, F₁ , F₂ … F_k … F_m равнодействующие которых Система имеет «n» степеней свободы, т.е. её положение определяется «n» OK: q₁...q_k...q_n . Дадим OK q_i изохронное приращение δq_i

Все остальные n-1 ОК оставим неизменными.

Система совершит независимое возможное перемещение соответст- вующее δq_i

Точка А_k получит возможное перемещение δr_k

Силы, действующие на точку А_к, совершат возможную работу

Возможная работа всех сил на i^0M независимом возможном перемеще-нии

Обозначим

Обобщенной силой (ОС) Q_i; соответствующей OK q₁, называется скаляр-ный множитель в выражении возможной работы всех сил системы перед приращением этой OK δq_i

Т.к. ОК независимы между собой, то при произвольном возможном пе-ремещении, когда все ОК получат приращения, полная возможная работа всех сил определится как сумма возможных работ на независимых перемещений

Если F₁ , F₂ … F_k … F_m силы ( ) разделить на составляющие из активных и реактивных, то для каждых из них (систем) можно определить соответ­ствующую обобщенную силу Q_i^a и Q_i^R.В частности, для механической системы с идеальными связями:

Дифференциальные уравнения движения механической системы в ОК.

За исходное возьмем ОДУ

Для сил инерции материальных точек системы можно ввести понятие обобщенных сил инерции Q_i^ф, Ф₁,… Ф_k… Ф_m аналогичные обобщенной силе Q_i

Тогда возможная работа всех сил инерции на произвольном возмож­ном перемещении

(б)

Т.к. при произвольном возможном перемещении системы все ОК одновременно не могут быть равны нулю, то уравнение выполняется, если каждый коэффициент перед δq_i., будет равен 0.

Выразим Q_i^ф через кинетическую энергию системы

Можно представить (производная от скалярного произведения)

отсюда

Два раза вспомним математику:

1. Свойство переместительности в последовательности взятия полных и частичных производных

С учетом этого

Подставим это в выражение (г)

где

С учетом полученного выражения (д) система (в) примет вид:

Это - система дифференциальных уравнений движения механической

системы в ОК.

Уравнения (е) носят имя Лагранжа, их достоинство в том, что для систем с геометрическими связями число таких уравнений = ЧСС системы и обладает необходимость при исследовании движения системы определять уравнения движения каждого тела системы.

При составлении уравнении уравнения Лагранжа 2^го рода в выражения обобщенных сил войдут только реакции неидеальных связей. В диффе-ренциальные уравнения движения тел системы входили бы все реак-

тивные силы и идеальных связей тоже.

Потенциальные силы.

При решении задач механики часто определяют работу силы -

динамическую меру действия силы.

В общем случае, когда F = F(t, r, v), для определения работы

необходимо знать закон движения, а именно он и не задан при решении

2— задачи динамики.

Есть вид сил, работу которых можно определить не зная r(t) закона

движения, это - потенциальные силы.

Область пространства, в которой на материальную точку действует

сила, зависящая от аргумента t и положения точки в пространстве по

отношению к системе отсчета r_k называется силовым полем. Такие силы

Силовое поле, силы которого не зависят явно от t называются

стационарным. Силы стационарного поля F_k = F_k(t ,r_k)

Для определения работы сил стационарного поля нет необходимости

знать законы движения материальных точек, достаточно знать

уравнение траектории в координатной форме.

Для вычисления работы по формуле

достаточно знать зависимость между х_к, у_к и z_k Силы стационарного силового поля обладают еще одним свойством: работа этих сил на перемещение A^₂ по какой-либо траектории равна работе на перемещение A₂At с противоположным знаком

Свойства сил стационарного силового поля:

Стационарное силовое поле, работа сил которого определяется только начальным и конечным положением точки и не зависит от вида траектории, называется потенциальным (консервативным). Силы потенциального поля называются потенциальными, они также зависят только от положения точки F_k = F_k(r), но обладает свойством

Выберем в силовом поле точку A_o(x_o,y_o,z_o)

Величина, равная работе потенциальной силы, совершаемой при

перемещении k-ой материальной точки из положения A(x,y,z) в

Ao(x_o,y_o,z_o) называется потенциальной энергией материальной точки

Предполагается, что в А_о, потенциальная энергия точки = 0.

Назовем эту точку нулевой. Обозначают потенциальную энергию

П(греч.)

П_к = A_aao

Потенциальная энергия, как и всякая работа силы стационарного силового поля является функцией координат П_k(x,y,z) или П_к(г). Работу потенциальной силы F_k можно определить'при перемещении A₁ в А₂ следующим образом

т. е. при известной П_к(х ,у ,z) работа потенциальной силы равна разности потенциальных энергий начального и конечного положений материальной точки.

Определим связь потенциальной энергии П_к с потенциальной силой F_k Дадим приращение координате х→∆х и определим изменение П. Э. на этом перемещении

По теореме о среднем

если взять предел при ∆х→0, то

Аналогично получается:

Отсюда можно получить выражения определяющие условие потенциальности сил.

Рассмотрим два вида сил

а) Сила тяжести материальной точки

Проекции силы Р удовлетворяют условиям (**), следовательно сила Р - потенциальная. Потенциальная энергия материальной точки, если 0 - нулевая

х₀- положение конца недеформированной пружины, с которым связана точка А_к

F_kx= -c(x - х₀); F_ky = F_kz = 0. Условия (**) выполняются Если х₀- нулевая точка, то потенциальная энергия будет

Дифференциальное уравнение в ОК в случае потенциальных

сил.

Пусть механическая система находится в потенциальном силовом поле. Материальная точка А_к системы будет иметь потенциальную энергию, определяемую ее координатами П_к = П_к(х_к ,у_к ,z_k) или Пk = Пk(r). Потенциальная энергия системы = сумме потенциальных энергий точек системы

Если дадим системе произвольное возможное перемещение, то возможная работа системы будет

Из определения обобщенной силы

Сопоставляя эти выражения, получаем

i-oe уравнение Лагранжа будет

Обозначают Т-П=1_ - функция Лагранжа, или кинетический потенциал Уравнения Лагранжа для потенциальных сил: