8. Принцип Германа-Эйлера-д'Аламбера.

Принципом или началом в механике называют положение определяю­щее общий подход (принцип) к решению широкого круга задач. Принцип Даламбера позволяет уравнения динамики представить в форме урав­нений статики и свести решение задач динамики к решению задач о равновесии систем сил. Этот подход часто упрощает решение и, поэтому, широко используется.

Принцип Германа-Эйлера-Д'Аламбера для материальной точки.

Рассмотрим движение материальной точки A_k массой m_k в инерциаль-ной системе отсчёта, под действием системы сил, равнодействующая

которыхF_k Основное уравнение динамики будет

Ф_kимеет размерность силы и называется даламберовой силой инерции материаль­ной точки.

Это уравнение выражает принцип Даламбера для мате­риальной точки.

В любой момент времени сумма сил, действующих на точку, и силы инерции этой точки, равны нулю.

Можно записать в проекциях на оси

или

Эти уравнения представляют собой основное уравнение динамики в форме уравнений статики равновесия сходящихся систем сил. Составление уравнений сводится к составлению уравнений равновесия статики.

Принцип Германа-Эйлера-Д'Аламбера для механической сис­темы.

Механическая система состоит из «n» материальных точек

Равнодействующую сил F_k, действующих на каждую точку представим как

Приведём «n» уравновешенных систем сил к центру О,

используя теорему (метод) Пуансо.

Согласно основной теореме статики любая система сил эквивалентна одной силе и паре сил. Причём приведённая сила-главный вектор сис­темы, а момент приведённой пары главный момент системы относи­тельно выбранного центра. Если система уравновешенная, то главный вектор и главный момент равны нулю.

В нашем случае система 3n сил является уравновешенной, т.к. каждая n-ая система трёх сил по уравнению (*) уравновешенна. Следовательно приведённая сила (главный вектор) и момент приведённой пары (глав­ный момент) равны нулю.

Эти уравнения выражают принцип Германа-Эйлера Д'Аламбера для механической системы.

В любой момент времени сумма главного вектора внешних сил системы и главного вектора сил инерции, а также сумма главного момента внеш­них сил и главного момента сил инерции системы относительно произ­вольного центра, равны нулю.

Уравнения (**) по форме аналогичны условиям равновесия произволь­ной пространственной системы сил статики.

Первое уравнение-иная форма основного уравнения динамики поступа­тельного движения системы или уравнения теоремы об изменении ко­личества движения механической системы. Второе уравнение-иная форма теоремы об изменении главного момента крличества движения механической системы.

Если начало системы осей прямоугольно декартовой координат помес­тить в центр О, можно записать (**) в проекции.

Главный вектор и главный момент сил инерции твёрдого тела.

Главный вектор сил инерции

В качестве центра приведённого в динамике принимается

центр масс системы. Главный момент сил инерции относительно центр

масс определим для разных видов движения твёрдого тела.

а) Поступательное движение твердого тела.

Ускорения всех точек одинаковы

Итак — и при поступательном движении твёрдого тела.

б) Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси про­ходящей через центр масс. Тело имеет плоскость симметрии , перпен­дикулярно оси вращения.

Определять главный момент сил инерции будем по его проекциям,

Учитывая

Рассмотрим произвольную точку А_к массой m отстоящей от оси Z на h_к . Её сила инерции . Т.к. у тела есть плоскость сим-

метрии П, то есть точка A_k^’ симметрична А_к такой же массы

^m_к^’ =^m_к^’ и расположена она на таком же расстоянии от оси Z.

Следовательно, т.к.

и моменты этих сил относительно осей X и Y равны по модулю и проти­воположны по знаку.

Отсюда следует, что главный момент сил инерции относительно центра

масс С направлен по оси Z, а его модуль равен M_z .

Просуммируем по элементам (точкам)

Вывод: , направлен по оси вращения Z, т.е.

его вращательное действие вокруг оси Z противоположно

направлению

в) Плоское движение твёрдого тела, имеющего плоскость симметрии, параллельную плоскости движения.

Плоское движение представим как сложное, состоящее из поступатель­ного движения вместе с центром

7

масс и вращения вокруг оси ^_с , про­ходящей через центр масс перпенди­кулярно плоскости движения.

Главный вектор сил инерции обусловлен поступательной составляющей

плоского движения и равен

Вращательная составляющая движения «вызывает» силы инерции, при­водящиеся к паре сил, момент который равен главному моменту сил

Реакции подшипников при вращении тела вокруг оси.

Применим принцип Германа-Эйлера-Д'Аламбера к определению реак­ций подшипников.(Часто встречающаяся на практике задача «Детали машин», «Процессы и аппараты»,«ПТУ» и т.д.).

Пусть тело вращается под дейст­вием системы внешних сил

Действие связей пока­жем составляющими опорных ре­акций

. В каждой материаль­ной точке приложим силу

инерции тогда можно запи-

сать для произвольной пространст­венной системы сил

Найдём проекции сил инерции на координатные оси и их моменты отно­сительно осей

центробежные моменты инерции вращающегося тела.

Последнее уравнение проекций сил показывает, что в направлении Z реакция определена только внешними активными силами. Уравнения 1,2,3,4,5 показывают, что при вращении тела, реакции в плоскостях, перпендикулярные оси вращения, определяются двумя составляющими. Статическая составляющая зависит от внешних сил. Динамическая со­ставляющая зависит от инерциальных сил, т.е. от кинематических ха­рактеристик движения и инерциальных свойств тела.

Определение условия отсутствия динамических составляющих ре­акций подшипников. Математически это условие выражается системой четырёх уравнений

Эти условия означают, что при вращении динамические составляющие будут отсутствовать если:

1. ось вращения проходит через центр масс тела (ось центральная)

2. центробежные моменты инерции тела содержащие соответствующую оси вращения координату (Z) были равны нулю, (ось главная)

Вывод: если тело вращается около центральной главной оси, то дина­мические составляющие реакций отсутствуют.

Динамические составляющие могут значительно (в несколько раз) пре­вышать значения статических реакций, поэтому вопросы динамической балансировки занимают очень важное значение в технике.

Принципы возможных перемещений и общее уравнение