- •Динамика
- •1. Введение в динамику. Законы динамики.
- •Импульс силы
- •4. Относительное движение материальной точки.
- •Здесь – абсолютное ускорение точки по отношению к о.С.О. По теореме Кориолиса
- •8. Принцип Германа-Эйлера-д'Аламбера.
- •Динамики
- •Прямолинейные колебания материальной точки. Некоторые виды колебаний.
- •На материальную точку действуют и
- •Проанализируем амплитуду вынужденных колебаний:
Динамика
1. Введение в динамику. Законы динамики.
1.1 Основные понятия и определения.
Динамика - раздел механики, в котором изучаются законы движения механических систем под действием сил.
В отличие от кинематики, в динамике движение тел рассматривают с учетом действующих сил и инертных свойств этих тел. Движение по-прежнему считают относительным, пространство и время абсолютными, т. е. как и в кинематике.
Понятие силы, как векторной меры механического взаимодействия материальных тел, сохраняется из статики. Однако учитывается возможность изменения сил с течением времени, при изменении положения и скорости точек их приложения. В общем случае:
или
Материальная точка-тело, имеющее массу, размерами которого при движении можно пренебречь.
Механическая система-совокупность взаимодействующих материальных точек (у материала тела есть определенные внутренние связи). Движение тела зависит от его массы и сил, действующих на него. Масса—скалярная величина, являющаяся мерой количества вещества данного тела, характеризующая его инертные и гравитационные свойства.
Динамика подразделяется на динамику материальной точки, динамику тела и динамику механической системы.
1.2 Законы динамики.
Эти законы установлены путем обобщения результатов опытов и наблюдений. Их справедливость подтверждается всей практической деятельностью человечества (аксиоматический характер). Сформулированы и систематически изложены эти законы впервые в 17 веке Галилеем и Ньютоном. I закон (закон инерции) Галилей 1638 г.
Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Если F=0, то V=const или V=0, т.е. а=0
Движение точки при отсутствии сил—движение по инерции. Системы отсчета, в которых соблюдается I закон, называют инерциальными. Для практических задач, без больших ошибок, считают систему, связанную с Землей, инерциальной. I закон устанавливает для материальных тел эквивалентность состояния покоя и равномерного прямолинейного движения (движения по инерции).
II закон (основной закон динамики).
Материальная точка под действием силы приобретает ускорение, пропорциональное модулю силы, направление которого (в инерциальной системе отсчета) совпадает с действием силы. Математическая запись
ma=F (1)
III закон (закон равенства действия и противодействия). Известный из статики закон.
1.3 Масса, вес, системы единиц.
На тела вблизи поверхности Земли действуют силы тяжести Р, численно равные весу тел. Под действием сил тяжести при свободном падении тела приобретают одно и то же ускорение g (ускорение силы тяжести). Для этого движения на основании II закона можно записать
Р
P=mg; m = —
g
В системе СИ основными единицами являются: метр(м), килограмм массы (кг), секунда (с).
Единицей силы является производная единица;(Н—Ньютон). 1Н—сила, сообщающая 1кг массы ускорение 1 м/с2 Аналогичной является система СГС (см, г, с), в которой 1дина—сила, которая 1г массы сообщает ускорение 1см/с2
К другому типу систем относится МКГС, в которой основной является единица силы, а не массы. Единица массы будет производной
1 масса, которой сила в 1кг сообщает ускорение 1м/с2
Соотношение между единицами силы в СИ и МКГС:
1кг=9,81 н; 1н≈0,102кг
Тело, имеющее массу 1кг в системе СИ, имеет вес 1кг в системе МКГС.
2. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки. 2.1 Векторная форма.
П оложение материальной точки М массой m определим векторным способом—радиус-вектором г. На точку действует равнодействующая системы сил F, которая в общем случае
По(1)
ma=F, т.к., ,то
(2)
Полученное равенство является дифференциальным уравнением, в котором г—уравнение (закон) движения,
является функцией аргумента t. Поэтому оно называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.
2.2 Координатная форма.
Дифференциальное уравнение (2) эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям, которые получаются проецированием уравнения (2) на координатные оси. Спроецируем на оси ох у z.
(2')
З десь н)
уравнения (закон) движения материальной точки в координатной форме.
Fx, Fy, Fz - проекции равнодействующей силы F на координатные оси, причем все оси в общем случае являются функциями Следовательно (21) - является дифференциальным уравнением движения материальной точки в координатной форме.
2.3 В естественных осях
S=S(t)—закон (уравнение) движения при его задании естественным способом.
Спроецируем (1) на естественные оси
Из кинематики точки известно
Учитывая это, получим
|
(2//)-Дифференциальное уравнение движения материальной точки в естественных осях
|
Из Fb=0, следует, что равнодействующая системы сил, действующих на точку, расположена в соприкасающейся плоскости.
2.4 Первая задача динамики (прямая).
К первым задачам динамики относятся те задачи, в которых известна кинематика движения материальной точки, ее масса, а определить нужно силы, вызывающие это движение.
Задача решается с помощью дифференциальных уравнений движения (2), (2/), (2//). Если заданы уравнения движения точки, то задача решается путем их дифференцирования.
Проекции сил определяются из дифференциального уравнения (2/) подстановкой в них вторых производных
По найденным проекциям определяется модуль силы
И направление
Если на материальную точку действует одна сила, то -есть
эта сила.
Если—система сил, то F—равнодействующая этих сил. При решении м.б. определена одна произвольно расположенная сила системы, либо три с известными направлениями.
Пример:
Определить силу, под действием которой, точка массой m движется согласно уравнениям
где д—ускорение свободного падения
Продифференцировав уравнения движения и подставив вторые производные в уравнения (21) получим
Точка падает под действием силы веса.
2.5 Вторая задача динамики (обратная)
Ко вторым задачам динамики относят задачи, в которых известны силы, действующие на материальную точку и ее масса, а определяют кинематические характеристики движения точки (уравнения движения в общем случае).
Рассмотрим путь решения задачи при задании движения в координатной форме, т.к. на практике чаще всего встречаются задачи при этом способе задания движения.
Дифференциальное уравнение (2') является дифференциальным уравнением второго порядка по отношению к искомым функциям x=x(t), y=y(t), z=z(t).
В общем виде вторая задача решения не имеет, т.к. решения дифференциального уравнения (2') зависят от вида их правой части. Вид правой части определяется видом функций сил. В общем виде дифференциальные уравнения имеют вид.
(a)
Общее решение каждого дифференциального уравнения (а) содержит две постоянные
(б)
Для определения частных решений, постоянные С1,...,С6 определяются из условий задачи, которые представляют собой значения переменных х, у, z и их первых производных (т.е. проекций скоростей) при некотором известном значении аргумента t. Обычно эти значения известны в начальный (или конечный) момент времени.
При t=0
(в)
Поэтому условия (в) называются начальными (или граничными). Подстановка условий (в) в уравнения (б) превращает их в систему шести уравнений относительно С1,...,С6 через начальные условия. После подстановки С1,...,C6 в общее решение (б) получим частные решения дифференциальных уравнений (а), отвечающих условиям задачи.
(г)
Это решение позволяет полностью определить движение, вызываемое заданными силами, т.е. определить любые кинематические характеристики.
В конкретных задачах часто не требуется определять уравнения движения, а достаточно найти функции скоростей V=V(t) или V=V(x, у, z). В этом случае используют уравнения основного закона динамики (1) и (2) в виде дифференциального уравнения скоростей
(3) (3')
Дифференциальные уравнения (З') легко получаются из (3)
Пример: Определить время падения тела массой m с высоты h, отпущенного без начальной скорости. Сопротивление движению не учитывать.
В задаче рассматриваем движение точки относительно Земли. Земля—система отсчета (CO.).
Свяжем с ней декартову прямоугольную систему координат oxyz. Покажем силы, действующие на материальную точку при ее движении—сила тяжести P=mg
С формальной точки зрения нужно составить и решить 3 дифференциальных уравнения (2')
(1)
Проинтегрируем это уравнение дважды
(2) (3)–
общие решения уравнений (1)
Для определения С1,...,С6 выпишем начальные условия
При t=0
(4)
Подставим начальные условия (4) в уравнения (2) и(3)
(5)
Из решения системы уравнений (5) получим
C1=C2=C3=C4=C5 C6=hm
Эти значения подставим в (3)
учитывая mg=P (6)–
Частные решения уравнений (1 )–уравнения движения тела.
Время падения определяется из последнего уравнения (6) при условии: t=T; Z=0
Фактически нет надобности составлять первые два уравнения (1). Учитывая, что Vox=Voy=xo=yo=O, а сила Р направлена вдоль оси z, то движение тела происходит вдоль оси z по направлению силы, и для определения движения тела достаточно составить одно дифференциальное уравнение по оси z.
Пример 2. Исходные данные предыдущей задачи. Определить скорость тела при падении. Для определения V падения при известной высоте падения достаточно иметь закон Vz=Vz(z). Используем второй закон в виде дифференциального уравнения функции Vz (3/)
(1)
Разделим переменные Vz и Z
проинтегрируем
(2) – общее решение (1)
Определим С из начального условия z=h; Vz=O.
0=-Рh+С; C=hP
Частное решение уравнения (1) получим, подставив С
(3) т.к. Vx = Vy = 0;
(3/)
Скорость при падении определяем из условия
З. Общие теоремы динамики материальной точки
Любую задачу динамики точки, принципиально можно решить с помощью основного уравнения динамики.
Один путь решения (с помощью дифференциального уравнения движения) мы уже рассмотрели. При этом первая задача динамики решается путем дифференцирования известных уравнений движения. Вторая путем интегрирования дифференциальных уравнений движения.
Решения многих задач можно упростить, если использовать теоремы динамики материальной точки. Эти теоремы фактически представляют основной закон динамики, но в иной форме.
Использование этих теорем при решении задач, освобождает нас от операций дифференцирования и интегрирования. Эти преобразования выполнены в процессе доказательства (получения) общих теорем динамики из II закона Ньютона.
Общие теоремы динамики оперируют величинами, характеризующими динамику движения MV и MV2/2 и динамическое действие сил (S и А).
Две меры механического движения
Динамику движения материальной точки можно охарактеризовать двумя мерами: количеством движения (mV) и кинетической энергией движения (mV2/2).
Кинетическая энергия движения материальной точки – скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.
СИ
МКГС
Количество движения материальной точки (mV) – векторная мера механического движения точки, равная произведению массы точки на ее скорость. Направление вектора mV определяет вектор скорости точки. Модуль ImVI = mV
СИ
МКГС