Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Динамика лекции.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
22.11.2019
Размер:
4.48 Mб
Скачать

Динамика

1. Введение в динамику. Законы динамики.

1.1 Основные понятия и определения.

Динамика - раздел механики, в котором изучаются законы движения ме­ханических систем под действием сил.

В отличие от кинематики, в динамике движение тел рассматривают с учетом действующих сил и инертных свойств этих тел. Движение по-прежнему считают относительным, пространство и время абсолютными, т. е. как и в кинематике.

Понятие силы, как векторной меры механического взаимодействия ма­териальных тел, сохраняется из статики. Однако учитывается возмож­ность изменения сил с течением времени, при изменении положения и скорости точек их приложения. В общем случае:

или

Материальная точка-тело, имеющее массу, размерами которого при движении можно пренебречь.

Механическая система-совокупность взаимодействующих материаль­ных точек (у материала тела есть определенные внутренние связи). Движение тела зависит от его массы и сил, действующих на него. Масса—скалярная величина, являющаяся мерой количества вещества данного тела, характеризующая его инертные и гравитационные свойст­ва.

Динамика подразделяется на динамику материальной точки, динамику тела и динамику механической системы.

1.2 Законы динамики.

Эти законы установлены путем обобщения результатов опытов и на­блюдений. Их справедливость подтверждается всей практической дея­тельностью человечества (аксиоматический характер). Сформулированы и систематически изложены эти законы впервые в 17 веке Галилеем и Ньютоном. I закон (закон инерции) Галилей 1638 г.

Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Если F=0, то V=const или V=0, т.е. а=0

Движение точки при отсутствии сил—движение по инерции. Системы от­счета, в которых соблюдается I закон, называют инерциальными. Для практических задач, без больших ошибок, считают систему, связанную с Землей, инерциальной. I закон устанавливает для материальных тел эквивалентность состояния покоя и равномерного прямолинейного движе­ния (движения по инерции).

II закон (основной закон динамики).

Материальная точка под действием силы приобретает ускорение, про­порциональное модулю силы, направление которого (в инерциальной системе отсчета) совпадает с действием силы. Математическая запись

ma=F (1)

III закон (закон равенства действия и противодействия). Известный из статики закон.

1.3 Масса, вес, системы единиц.

На тела вблизи поверхности Земли действуют силы тяжести Р, численно равные весу тел. Под действием сил тяжести при свободном падении тела приобретают одно и то же ускорение g (ускорение силы тяжести). Для этого движения на основании II закона можно записать

Р

P=mg; m = —

g

В системе СИ основными единицами являются: метр(м), килограмм мас­сы (кг), секунда (с).

Единицей силы является производная единица;(Н—Ньютон). 1Н—сила, сообщающая 1кг массы ускорение 1 м/с2 Аналогичной является система СГС (см, г, с), в которой 1дина—сила, ко­торая 1г массы сообщает ускорение 1см/с2

К другому типу систем относится МКГС, в которой основной является единица силы, а не массы. Единица массы будет производной

1 масса, которой сила в 1кг сообщает ускорение 1м/с2

Соотношение между единицами силы в СИ и МКГС:

1кг=9,81 н; 1н≈0,102кг

Тело, имеющее массу 1кг в системе СИ, имеет вес 1кг в системе МКГС.

2. Дифференциальные уравнения движения

материальной точки. 2.1 Векторная форма.

П оложение материальной точки М массой m определим векторным спо­собом—радиус-вектором г. На точку действует равнодействующая системы сил F, которая в общем слу­чае

По(1)

ma=F, т.к., ,то

(2)

Полученное равенство является диф­ференциальным уравнением, в кото­ром г—уравнение (закон) движения,

является функцией аргумента t. Поэтому оно называется дифференци­альным уравнением движения материальной точки в векторной форме.

2.2 Координатная форма.

Дифференциальное уравнение (2) эквивалентно трем скалярным диф­ференциальным уравнениям, которые получаются проецированием уравнения (2) на координатные оси. Спроецируем на оси ох у z.

(2')

З десь н)

уравнения (закон) движения материальной точки в координатной форме.

Fx, Fy, Fz - проекции равнодействующей силы F на координатные оси, причем все оси в общем случае являются функциями Следовательно (21) - является дифференциальным уравнением движе­ния материальной точки в координатной форме.

2.3 В естественных осях

S=S(t)—закон (уравнение) движения при его задании естественным спо­собом.

Спроецируем (1) на естественные оси

Из кинематики точки известно

Учитывая это, получим

(2//)-Дифференциальное уравнение движения материальной точки в естественных осях

Из Fb=0, следует, что равнодействующая системы сил, действующих на точку, расположена в соприкасающейся плоскости.

2.4 Первая задача динамики (прямая).

К первым задачам динамики относятся те задачи, в которых известна кинематика движения материальной точки, ее масса, а определить нуж­но силы, вызывающие это движение.

Задача решается с помощью дифференциальных уравнений движения (2), (2/), (2//). Если заданы уравнения движения точки, то задача решает­ся путем их дифференцирования.

Проекции сил определяются из дифференциального уравнения (2/) под­становкой в них вторых производных

По найденным проекциям определяется модуль силы

И направление

Если на материальную точку действует одна сила, то -есть

эта сила.

Если—система сил, то F—равнодействующая этих сил. При решении м.б. определена одна произвольно расположенная сила системы, либо три с известными направлениями.

Пример:

Определить силу, под действием которой, точка массой m движется со­гласно уравнениям

где д—ускорение свободного падения

Продифференцировав уравнения движения и подставив вторые про­изводные в уравнения (21) получим

Точка падает под действием силы веса.

2.5 Вторая задача динамики (обратная)

Ко вторым задачам динамики относят задачи, в которых известны силы, действующие на материальную точку и ее масса, а определяют кинематические характеристики движения точки (уравнения движения в общем случае).

Рассмотрим путь решения задачи при задании движения в координатной форме, т.к. на практике чаще всего встречаются задачи при этом спосо­бе задания движения.

Дифференциальное уравнение (2') является дифференциальным урав­нением второго порядка по отношению к искомым функциям x=x(t), y=y(t), z=z(t).

В общем виде вторая задача решения не имеет, т.к. решения диффе­ренциального уравнения (2') зависят от вида их правой части. Вид пра­вой части определяется видом функций сил. В общем виде дифферен­циальные уравнения имеют вид.

(a)

Общее решение каждого дифференциального уравнения (а) содержит две постоянные

(б)

Для определения частных решений, постоянные С1,...,С6 определяются из условий задачи, которые представляют собой значения переменных х, у, z и их первых производных (т.е. проекций скоростей) при некотором известном значении аргумента t. Обычно эти значения известны в на­чальный (или конечный) момент времени.

При t=0

(в)

Поэтому условия (в) называются начальными (или граничными). Подстановка условий (в) в уравнения (б) превращает их в систему шести уравнений относительно С1,...,С6 через начальные условия. После подстановки С1,...,C6 в общее решение (б) получим частные ре­шения дифференциальных уравнений (а), отвечающих условиям зада­чи.

(г)

Это решение позволяет полностью определить движение, вызываемое заданными силами, т.е. определить любые кинематические характери­стики.

В конкретных задачах часто не требуется определять уравнения движе­ния, а достаточно найти функции скоростей V=V(t) или V=V(x, у, z). В этом случае используют уравнения основного закона динамики (1) и (2) в виде дифференциального уравнения скоростей

(3) (3')

Дифференциальные уравнения (З') легко получаются из (3)

Пример: Определить время падения тела массой m с высоты h, отпу­щенного без начальной скорости. Сопротивление движению не учиты­вать.

В задаче рассматриваем движение точки относительно Земли. Земля—система отсчета (CO.).

Свяжем с ней декартову прямоугольную систему координат oxyz. Покажем силы, действующие на матери­альную точку при ее движении—сила тяжести P=mg

С формальной точки зрения нужно составить и решить 3 дифференци­альных уравнения (2')

(1)

Проинтегрируем это уравнение дважды

(2) (3)–

общие решения уравнений (1)

Для определения С1,...,С6 выпишем начальные условия

При t=0

(4)

Подставим начальные условия (4) в уравнения (2) и(3)

(5)

Из решения системы уравнений (5) получим

C1=C2=C3=C4=C5 C6=hm

Эти значения подставим в (3)

учитывая mg=P (6)–

Частные решения уравнений (1 )–уравнения движения тела.

Время падения определяется из последнего уравнения (6) при условии: t=T; Z=0

Фактически нет надобности составлять первые два уравнения (1). Учи­тывая, что Vox=Voy=xo=yo=O, а сила Р направлена вдоль оси z, то движе­ние тела происходит вдоль оси z по направлению силы, и для опреде­ления движения тела достаточно составить одно дифференциальное уравнение по оси z.

Пример 2. Исходные данные предыдущей задачи. Определить скорость тела при падении. Для определения V падения при известной высоте падения достаточно иметь закон Vz=Vz(z). Используем второй закон в виде дифференциального уравнения функции Vz (3/)

(1)

Разделим переменные Vz и Z

проинтегрируем

(2) – общее решение (1)

Определим С из начального условия z=h; Vz=O.

0=-Рh+С; C=hP

Частное решение уравнения (1) получим, подставив С

(3) т.к. Vx = Vy = 0;

(3/)

Скорость при падении определяем из условия

З. Общие теоремы динамики материальной точки

Любую задачу динамики точки, принципиально можно решить с помо­щью основного уравнения динамики.

Один путь решения (с помощью дифференциального уравнения движе­ния) мы уже рассмотрели. При этом первая задача динамики решается путем дифференцирования известных уравнений движения. Вторая путем интегрирования дифференциальных уравнений движения.

Решения многих задач можно упростить, если использовать теоремы динамики материальной точки. Эти теоремы фактически представляют основной закон динамики, но в иной форме.

Использование этих теорем при решении задач, освобождает нас от операций дифференцирования и интегрирования. Эти преобразования выполнены в процессе доказательства (получения) общих теорем дина­мики из II закона Ньютона.

Общие теоремы динамики оперируют величинами, характеризующими динамику движения MV и MV­2/2 и динамическое действие сил (S и А).

Две меры механического движения

Динамику движения материальной точки можно охарактеризовать двумя мерами: количеством движения (mV) и кинетической энергией движения (mV2/2).

Кинетическая энергия движения материальной точки – скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

СИ

МКГС

Количество движения материальной точки (mV) – векторная мера меха­нического движения точки, равная произведению массы точки на ее ско­рость. Направление вектора mV определяет вектор скорости точки. Модуль ImVI = mV

СИ

МКГС