3.6. Определение устойчивости по частотному критерию Михайлова.
Сформулируйте критерий устойчивости, основанный на поведении годографа, постройте годограф Михайлова для анализируемой системы и покажите её устойчивость.
Сформулируйте критерий устойчивости, основанный на совместном анализе вещественной U() и мнимой V() функций Михайлова, определите их корни и на основе их анализа покажите устойчивость системы.
3.7. Определение области допустимых параметров системы.
Запишите характеристическое уравнение системы в параметрической форме, т.е. в такой форме, когда коэффициенты характеристического уравнения являются функциями от параметров системы. Используя необходимое условие устойчивости в сочетании с достаточным условием по критерию Рауса-Гурвица определите области допустимых параметров системы:
область устойчивости по передаточным числам (
)
при принятом а исходных данных значении
постоянной времени рулевого привода
Трп;область устойчивости по передаточному числу и постоянной времени Трп при условии
.
Постройте области допустимых значений параметров, обеспечивающих устойчивость системы, соответственно в плоскости ( ) и в плоскости (Трп, ).
4. Частотный критерий устойчивости Найквиста.
4.1. Формулировка критерия Найквиста.
Частотный критерий устойчивости был предложен Г.Найквистом в 1932 г. и до сих пор остается фундаментальным методом анализа устойчивости линейных систем управления. Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью – замкнутой системы – по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы. Критерий Найквиста формулируется для системы с единичной обратной связью, структурная схема которой приведена на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Структурная схема замкнутой системы.
На этой схеме W(p) – передаточная функция разомкнутой системы, по которой и будет делаться заключение об устойчивости системы. Для систем с неединичной отрицательной обратной связью предварительно необходимо произвести размыкание системы, которое можно выполнить произвольным образом (рис. 4.2.), а вход и выход системы следует рассматривать в месте разрыва. В результате искомая передаточная функция будет иметь вид.
Рис. 4.2. Структурная схема системы общего вида.
Именно с этим видом мы имеем дело в нашем рассмотрении системы управления креном летательного аппарата (рис. 2.10.).
Поэтому в первую очередь необходимо привести эту структурную схему (рис. 2.10.) к структурной схеме замкнутой системы с единичной обратной связью. Такая схема имеет вид, приведенный на рис. 4.3., а передаточная функция разомкнутой системы представляет собой результат последовательного соединения четырех звеньев прямой цепи
,
г
де
.
Рис. 4.3. Структурная схема математической модели управления креном,
приведенная к единичной отрицательной обратной связи.
Формулировка критерия Найквиста: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до + не охватывала точку с координатами (-1, j0).
Примеры расположения частотных характеристик, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам, представлены на рис. 4.4.
1
2
..
Рис. 4.4. Иллюстрация критерия Найквиста.
1 – устойчивая, 2 – неустойчивая замкнутые системы.