- •Передмова
- •Логічна символіка
- •1. Елементи теорії множин
- •1.1. Операції над множинами
- •1.2. Поняття відображення або функції
- •1.3. Еквівалентні множини. Потужність множини
- •1.3.1. Властивості еквівалентних множин
- •1.4. Зліченні множини
- •1.5. Метод математичної індукції
- •1.5.1. Аксіоми натуральних чисел
- •1.5.2. Метод математичної індукції
- •1.6. Біноміальні коефіцієнти. Біном Ньютона
- •2. Аксіоматика дійсних чисел
- •1. Операція додавання.
- •2. Операція множення.
- •3. Зв’язок операцій додавання і множення.
- •4. Аксіома упорядкованості.
- •5. Аксіома неперервності.
- •2.1. Наслідки із аксіом
- •2.1.1. Властивості операцій додавання і множення
- •2.5. Обмежені і необмежені множини. Верхня і нижня межі
- •2.6. Точна верхня і точна нижня межі множини
- •2.7. Принцип Архімеда
- •2.8. Принцип вкладених відрізків
- •2.9. Незліченність відрізка
- •2.10. Теорема про скінченне покриття
- •2.11. Теорема про граничну точку
- •3. Границя числової послідовності
- •3.1. Теореми про границі
- •3.2. Арифметичні операції зі збіжними послідовностями
- •3.3. Монотонні послідовності. Теорема Веєрштраса
- •3.4. Число
- •3.5. Підпослідовності
- •3.6. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші
- •3.7. Найбільша і найменша часткова границя
- •4. Границя і неперервність функції
- •4.1. Основні елементарні функції
- •4.2. Границя функції
- •4.2.1. Лівостороння й правостороння границі
- •4.3. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •4.4. Властивості функцій, що мають границю
- •4.5. Критерій Коші існування границі функції
- •4.6. Неперервність функції
- •4.6.1. Неперервність суперпозиції функцій
- •4.6.2. Одностороння неперервність
- •4.6.3. Класифікація точок розриву функції
- •4.7. Границі і неперервність монотонних функцій
- •4.8. Неперервність елементарних функцій
- •4.9. Важливі границі
- •4.10. Порівняння функцій. Еквівалентні функції
- •5. Неперервні функції на відрізках
- •5.1. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора
- •6. Диференціальне обчислення функції однієї змінної
- •6.1. Означення похідної
3. Границя числової послідовності
Означення. Точка називається границею числової послідовності , якщо в будь-якому околі точки містяться всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера.
Позначення: , або , або .
Очевидно, точка є границею послідовності , якщо поза будь-яким околом точки міститься лише скінченна кількість членів цієї послідовності.
Розглянемо чотири випадки.
1. – скінченне число.
,
(всі )
2.
3.
4.
Означення. Якщо границя послідовності скінченне число, то послідовність називається збіжною, або говорять, що послідовність збігається.
Означення. Послідовність, границя якої дорівнює або , називається нескінченно великою.
Означення. Послідовність, що збігається до нуля, називається нескінченно малою.
3.1. Теореми про границі
Теорема 1. Збіжна послідовність має тільки одну границю.
Доведення.
Припустимо супротивне, що і причому . Розглянемо околи точок і радіуса .
Ці околи мають порожній перетин. Оскільки , то поза околом точки міститься лише скінченне число членів послідовності. З іншого боку, оскільки то в окіл точки попадають всі члени послідовності, починаючи з деякого номера. Приходимо до суперечності, тобто послідовність має лише одну границю.
Теорема 2. Будь-яка збіжна послідовність є обмеженою.
Доведення.
Нехай . Візьмемо окіл точки радіуса 1, тобто . Нехай , тоді , ( - точки, що не потрапили в окіл ).
Теорема 3. Якщо , то .
Доведення.
Маємо нерівність . Оскільки , то
. Тоді при . За означенням .
Зауваження. Обернене твердження не має місця, але .
Теорема 4 (теорема про двох міліціонерів). Нехай є три послідовності: , , причому . Тоді якщо .
Доведення.
Оскільки , то . Оскільки , то існує .
Позначимо через , тоді .
Теорема 5. Нехай , . Тоді існує такий номер , що при виконується нерівність: .
Доведення очевидне.
Зауваження. Якщо до збіжної послідовності добавити чи прибрати з неї скінченне число членів, то одержимо нову послідовність, що збігається до тієї ж границі.
Теорема 6. Нехай . Тоді існує такий номер , що при виконується нерівність: .
Доведення (див. теорему 5).
Теорема 7. Нехай , , , тоді .
Доведення.
Припустимо, що . Візьмемо . Тоді і одночасно . Візьмемо тоді , , що суперечить . Значить .
Зауваження. В умовах теореми границі можуть дорівнювати одна одній.
Приклад: , , , .
Теорема 8. тоді і тільки тоді, коли , де — нескінченно мала послідовність.
Доведення.
Необхідність. . Нехай , тобто . Тоді або . Нуль – границя , , нескінченно мала, .
Достатність. Нехай , – нескінченно мала. Оскільки нескінченно мала, то : . Отже, .
Приклади.
1. Довести, що .
Доведення.
Нехай . За принципом Архімеда : . Тоді при .
2. Довести, що якщо , то .
Доведення.
,
.
візьмемо . Очевидно, .
3. Довести, що , .
Доведення.
Нехай , , .
Нехай .
4. Довести, що
Доведення.
При маємо: (при ) .
5. Довести, що
Доведення.
Нехай ,
.
6. Довести, що
Доведення.
З попереднього прикладу випливає, що : , .