Передмова

Цей навчальний посібник базується на курсі лекцій, що читаються авторами студентам I курсу математичного факультету Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля.

Зміст посібника – це курс диференціального і інтегрального обчислення функції однієї змінної, тобто той матеріал, який становить основу будь-якого курсу вищої математики. Рівень викладання відповідає рівню фізико-математичних спеціальностей вузів, однак автори сподіваються, що посібник буде корисний студентам всіх природничих, технічних та економічних спеціальностей, вивчення яких передбачає ґрунтовну математичну підготовку.

Автори також сподіваються на те, що наявність даного посібника у студентів дозволить зменшити непродуктивну, механічну складову навчального процесу і цим допоможе студентам більше зосередитися на змістовній і творчій складовій своєї праці.

Розділ 1

ДИФЕРЕНЦіАЛЬНЕ обчислення

ФУНкції ОДНієї змінної

Логічна символіка

– для будь-якого, для кожного, для всіх.

– існує.

– існує і єдиний.

– випливає, має наслідком.

– рівносильне.

– дорівнює за означенням.

1. Елементи теорії множин

1.1. Операції над множинами

Якщо елемент є елементом множини , то пишуть , якщо не належить , то пишуть .

Означення. Множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів.

Означення. Множина, що не містить ніяких елементів називається порожньою і позначається .

Символ означає, що є частиною множини . В цьому випадку називається підмножиною . За означенням порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Якщо і існує , такий що , то називається власною підмножиною .

Об’єднання (додавання множин).

.

Перетин (добуток множин).

.

Якщо , то кажуть, що множини і не перетинаються.

Різниця множин.

.

Якщо , то називається також доповненням в .

За означенням .

Мають місце рівності:

;

;

;

;

;

.

Закони двоїстості: якщо і , — доповнення в , то:

; ;

Симетрична різниця множин.

Декартів добуток множин.

Приклад.

— круг, — відрізок, тоді — циліндр.

1.2. Поняття відображення або функції

Означення. Нехай дано дві множини і . Якщо вказано правило , за яким кожному елементу поставлено у відповідність один і тільки один елемент , то кажуть, що на множині задано відображення (функція) в .

Позначення: , або , або .

Означення. Елемент називається образом елемента при відображенні , а елемент називається прообразом елемента .

Якщо , то – образ підмножини при відображенні .

Означення. Множина називається множиною значень або образом при відображенні . Множина називається областю визначення функції ( ).

Означення. Відображення називається ін’єкцією, якщо .

Означення. Відображення називається сур’єкцією, якщо .

Означення. Відображення називається бієкцією, якщо одночасно є ін’єкцією і сур’єкцією.

Означення. Нехай . Відображення , що визначається рівністю називається суперпозицією функцій і

Якщо – бієкція, то прообраз кожного елемента складається з єдиного елемента . Тому можна визначити відображення наступним чином

Функція називається оберненою функцією для .