2.5. Обмежені і необмежені множини. Верхня і нижня межі

Означення. Множина називається обмеженою зверху, якщо , . Число називається верхньою межею множини .

Множина обмежена зверху, якщо вона міститься в деякому околі точки . Верхніх меж у обмеженої зверху множини нескінченно багато.

Означення. Нехай є обмежена зверху множина. Якщо існує , то називається максимальним елементом множини ,

.

Означення. Множина називається обмеженою знизу, якщо .

Число називається нижньою межею множини .

лежить в деякому околі точки . Нижніх меж у обмеженої знизу множини нескінченно багато.

Означення. Нехай обмежена знизу множина. Якщо існує , то називається мінімальним елементом множини ,

.

Означення. Множина називається обмеженою, якщо вона одночасно обмежена знизу і зверху, тобто .

Множина обмежена, якщо .

Множина лежить в деякому околі нуля.

Означення. Множина необмежена зверху, якщо для .

Означення. Множина необмежена знизу, якщо для .

2.6. Точна верхня і точна нижня межі множини

Означення. Нехай – обмежена зверху множина. Її точною верхньою межею називається мінімальний елемент у множині її верхніх меж.

Нехай – обмежена зверху множина. Число – точна верхня межа множини , якщо:

1) – верхня межа ;

2) будь-яке число менше за не є верхньою межею , тобто якщо , то .

Позначення: (sup - supremum).

Означення. Нехай – обмежена знизу множина. Її точною нижньою межею називають максимальний елемент у множині її нижніх меж.

Нехай – обмежена знизу множина. Число – точна нижня межа множини , якщо:

1) – нижня межа ;

2) будь-яке число більше за не є нижньою межею , тобто якщо , то .

Позначення: (inf - infimum).

Теорема 1 (про існування точної верхньої межі). Нехай обмежена зверху множина. Тоді її точна верхня межа існує.

Доведення.

Позначимо через множину верхніх меж множини , . Тоді для і виконується нерівність . За аксіомою 5 для , . Тому верхня межа , – мінімальний елемент множини . Отже, .

Теорема 2 (про існування точної нижньої межі). Нехай обмежена знизу множина. Тоді її точна нижня межа існує.

Доведення аналогічне доведенню теореми 1.

У випадку якщо множина необмежена зверху, то пишуть .

У випадку якщо множина необмежена знизу, то пишуть .

2.7. Принцип Архімеда

Теорема. Яке б не було дійсне число , існує таке натуральне , що .

Доведення.

Припустимо супротивне, тобто – обмежена зверху. За теоремою 1 . Тоді число не є верхньою межею . Це означає, що , . Оскільки , то одержимо суперечність тому, що точна верхня межа . Отже, наше припущення неправильне, і .

Наслідок. Які б не були дійсні числа і , існує таке, що .

Доведення.

За принципом Архімеда .

2.8. Принцип вкладених відрізків

Означення. Система відрізків називається системою вкладених відрізків, якщо для .

Теорема. Система вкладених відрізків має непорожній переріз.

Доведення.

Нехай задано систему вкладених відрізків .

Тоді для має місце нерівність . Дійсно, якщо , якщо ж , то .

Скористаємося аксіомою 5: , зокрема , тобто належить перетину всіх відрізків .

Означення. Нехай множина невід’ємних чисел . Кажуть, що послідовність прямує до нуля і пишуть: , якщо .

Теорема (про стягувані відрізки). Нехай система вкладених відрізків, причому їхні довжини прямують до нуля, тобто . Тоді ця система має єдину точку перетину, тобто існує єдина точка , спільна для всіх відрізків.

Доведення.

За попередньою теоремою перетин відрізків не є порожнім. Припустимо, що в перетині є дві різні точки , . Нехай , тоді, оскільки , то , . Це означає, що перетин не є порожнім і складається не більше ніж з однієї точки.

Наслідок. В умовах теореми єдиною точкою перетину є число :

.