4.6.1. Неперервність суперпозиції функцій

Теорема. Нехай функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці . Тоді суперпозиція неперервна в точці .

Доведення.

Доведемо, що .

Нехай послідовність . В силу неперервності функції в точці маємо .

Розглянемо послідовність . В силу неперервності функції в точці маємо , тобто, якщо , то .

Таким чином, функція в точці має границю (за Гейне), що дорівнює значенню функції в точці , значить, вона неперервна в точці .

Наслідок. В умовах теореми .

Справді, в силу неперервності функції в точці , а в силу неперервності функції в точці . З останніх двох рівностей маємо .

4.6.2. Одностороння неперервність

Означення. Кажуть, що функція неперервна в точці справа, якщо .

Означення. Кажуть, що функція неперервна в точці зліва, якщо .

Теорема. Для того, щоб функція була неперервною в точці , необхідно и достатньо, щоб вона була неперервною в точці справа і зліва, тобто

. (*)

4.6.3. Класифікація точок розриву функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо самої цієї точки.

Означення. Точка називається точкою розриву функції , якщо функція не визначена в точці , або, якщо вона визначена в цій точці, але не є в ній неперервною (порушуються рівності (*)).

Розриви першого роду.

Означення. Якщо – точка розриву функції і існують скінченні односторонні границі , то точка називається точкою розриву першого роду.

Величина називається стрибком функції в точці .

Означення. Якщо стрибок функції в точці розриву дорівнює нулю, тобто , то називається точкою усувного розриву.

У цьому випадку функцію можна довизначити (якщо була невизначена) або перевизначити в точці , вважаючи , і одержати неперервну в точці функцію.

Розриви другого роду.

Означення. Точка розриву функції, що не є точкою розриву першого роду, називається точкою розриву другого роду.

Очевидно, що в точці розриву другого роду принаймні одна з односторонніх границь дорівнює , або , або не існує.

4.7. Границі і неперервність монотонних функцій

Означення. Функція називається неспадною (незростаючою) на , якщо виконується нерівність ( ).

Якщо знаки нерівностей між значеннями функції строгі, то говорять відповідно про зростаючу і спадну функції.

Позначення:

– зростаюча, неспадна функція;

– спадна, незростаюча функція.

Означення. Функція називається монотонною, якщо вона є зростаючою (неспадною), або спадною (незростаючою).

Теорема 1. Якщо функція є монотонною на , , то існують односторонні границі і .

Доведення.

Нехай . Розглянемо образ інтервалу при відображенні . Множина обмежена зверху, , а значить має точну верхню межу. Позначимо її .

Доведемо, що . Візьмемо довільне . Число не є верхньою межею , це означає, що . Візьмемо , тоді : . Значить, .

Таким чином, для ми вказали , тобто за означенням Коші .

Аналогічно доводиться існування .

Зауваження. Якщо функція визначена і монотонна на відрізку , то вона має в точці правосторонню границю, а в точці лівосторонню.

Будемо говорити, що функція неперервна на відрізку , якщо вона неперервна на а також в точці неперервна справа, а в точці – зліва.

Теорема 2. Нехай - монотонна функція на відрізку , значення якої заповнюють відрізок, тоді неперервна на .

Доведення.

Розглянемо внутрішню точку і доведемо, що в точці неперервна.

Для визначеності нехай . Очевидно, існують і . Припустимо, що . Тоді для : (точка існує, оскільки значення функції заповнюють відрізок). Очевидно, в силу монотонності функції, і оскільки .

Одержали суперечність, оскільки . Отже, припущення неправильне, і .

Аналогічно одержимо .

Таким чином, , тобто неперервна в точці .

Аналогічно доводиться неперервність функції в точці справа і в точці зліва.