2.9. Незліченність відрізка
Теорема. Відрізок – незліченна множина.
Доведення.
Припустимо
супротивне:
— зліченна множина. Це означає, що
множина
.
Поділимо її (відрізок) на три рівні
частини. З трьох одержаних відрізків
розглянемо той , який не містить
,
позначимо його через
,
причому його довжина
.
Поділимо
на три рівні частини. Нехай відрізок
(одна з трьох частин відрізка
)
не містить
,
.
Продовжуючи цей процес, одержимо систему
вкладених відрізків
,
причому
,
їхні довжини
.
З принципу Архімеда випливає, що
.
За попередньою теоремою існує єдина
точка
спільна для всіх відрізків
,
при цьому:
;
.
Ми прийшли до суперечності. — незліченна множина.
2.10. Теорема про скінченне покриття
Теорема. З будь-якої нескінченної системи інтервалів, що покриває заданий відрізок, можна вилучити скінченну систему інтервалів, яка покриває цей відрізок.
Доведення.
Нехай
– нескінченна система інтервалів, які
покривають заданий відрізок
.
Це означає, що об’єднання всіх цих
інтервалів містить
.
Припустимо
супротивне, тобто що
не покривається ніякою скінченною
системою інтервалів з
.
Поділимо відрізок
навпіл, виберемо з двох одержаних
відрізків той, що не покривається жодною
скінченною підсистемою з
і позначимо його через
;
.
Поділимо відрізок
навпіл, виберемо з одержаних відрізків
той, що не покривається жодною скінченною
підсистемою з
і позначимо його через
;
.
Продовжимо цей процес до нескінченності.
Одержимо нескінченну систему вкладених
відрізків
.
Нехай
довжина
,
довжина
.
Очевидно,
.
Таким чином, ми одержали систему вкладених
відрізків з довжинами, що прямують до
0. За теоремою про стягувані відрізки
існує єдина точка
,
спільна для всіх відрізків
,
.
Нехай
— той інтервал, що покриває
,
де
.
Візьмемо
.
Існує відрізок
.
Одержали суперечність, оскільки за
побудовою
не покривається жодною скінченною
підсистемою з
,
а з іншого боку він міститься в інтервалі
.
Це і доводить теорему.
2.11. Теорема про граничну точку
Означення.
Нехай
дано деяку множину
.
Будемо говорити, що точка
є граничною
точкою
,
якщо в будь-якому околі точки
міститься хоча б одна точка множини
,
відмінна від
.
Або інакше:
точка називається граничною точкою множини , якщо в будь-якому околі міститься нескінченно багато точок із .
Теорема. Будь-яка обмежена нескінченна множина точок має хоча б одну граничну точку.
Доведення.
Нехай
– вихідна множина точок. Вона обмежена,
отже, міститься в деякому відрізку
.
Припустимо
супротивне, тобто ніяка точка з
не є граничною для
(якщо
має граничні точки, то вони обов’язково
містяться в
).
Це означає, що для кожної точки
знайдеться окіл
,
що містить не більше ніж скінченну
множину точок із
.
Об’єднання всіх околів
містить відрізок
,
тобто
.
За
попередньою теоремою: із нескінченної
системи інтервалів
,
що покривають
,
можна виділити скінченну підсистему
,
яка також покриває відрізок
,
тобто
.
І оскільки, в кожному інтервалі
міститься не більше, ніж скінченна
множина точок із
,
то і в об’єднанні
міститься
скінченна множина точок із
,
тоді і сама множина
містить скінченне число точок.
Таким чином, ми одержали суперечність, оскільки в за умовою міститься нескінченна множина точок. Значить, знайдеться хоча б одна гранична точка множини .