4. Закон сохранения энергии

1. Работа переменной силы и кинетическая энергия

Наряду с временной характеристикой действия силы – ее импульсом, рассматривают пространственную характеристику действия силы – работу. Из курса физики средней школы известно, что если на тело, движущееся по прямой линии, действует постоянная сила , направленная под углом к перемещению , то работа силы на расстояние равна:

.

В векторных обозначениях эта формула записывается так:

.

Здесь обозначает скалярное произведение векторов и . Напомним, что в СИ работа измеряется в джоулях (1Дж = 1Н*м). Эта формула справедлива только в случае постоянной силы и прямолинейного движения частиц. В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, на каждом из которых сила может считаться постоянной по величине и направлению. На таком бесконечно малом перемещении силой совершается элементарная работа .

Работа , совершаемая силой на конечном перемещении частицы, равна сумме элементарных работ силы на всех малых участках траектории ее движения. Эта сумма приводится к криволинейному интегралу:

(1.4) Его вычисление сводится к нахождению определенного интеграла: для этого необходимо знать зависимость . Если эта зависимость задана графически (рис. 1.6), то элементарная работа численно равна площади заштрихованной полоски, а работа на всем пути – площади фигуры, ограниченной кривой,

Рис. 1.6

F(r)

C

dA

B

r₁ r₂ r

осью r и прямыми B и C.

Работа, отнесенная к единице

времени, то есть величина

,

называется мощностью. Ее

единицей является ватт (1Вт =

1Дж/с).

2. Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Кинетическая энергия механической системы.

Единой мерой различных форм движения служит физическая величина, называемая энергией. Движение является неотъемлемым свойством материи. Поэтому всякое тело обладает энергией, или, как часто говорят, запасом энергии, являющейся мерой его движения. Для количественной характеристики качественно различных форм движения вводятся соответствующие им виды энергии – механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная, химическая и так далее.

Энергия механической системы количественно характеризует эту систему с точки зрения возможных в ней превращений движения. Эти превращения обусловлены взаимодействием тел системы как между собой, так и с внешними телами.

Подставляя в формулу (1.4) и , получим

.

Чтобы вычислить интеграл, надо знать связь между скоростью материальной точки и ее импульсом . По определению импульса , причем в нерелятивистской механике масса не зависит от скорости, так что . Здесь вектор означает элементарное приращение вектора . Скалярное произведение (рис. 1.7), где - приращение длины вектора скорости.

Используя это соотношение и вынося постоянный множитель из-под интеграла, получим

,

где - начальная, а - конечная скорости точки, а - работа, совершаемая при перемещении

С

А

В

материальной точки из начального положения 1 в конечное положение 2. Величина называется кинетической энергией материальной точки

(греческое kinetikos – способный двигать). Кинетическая энергия тела – это мера механического движения, измеряется той работой, которую может совершить тело при его торможении. С помощью этого понятия полученный результат запишется в виде

( 1.5)

Таким образом, работа результирующей силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки. Следует отметить, что именно работа результирующей силы, то есть силы, являющейся векторной суммой всех сил, действующих на частицу, равна приращению кинетической энергии этой частицы

( 1.5,а)

Полученный результат обобщим для случая произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит. Запишем соотношение (1.5) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получим формулу (1.5), но уже для системы материальных точек. Таким образом, работа всех сил (внутренних и внешних), действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.