2. Нормальное и тангенциальное ускорения.

В общем случае траектория точки – пространственная кривая. а ускорение лежит в касательной плоскости к кривой. В этой плоскости вектор удобно разложить на две составляющие: вдоль касательной к траектории (орт ) и вдоль главной нормали (орт ).

.

Составляющая называется тангенциальным ускорением и отвечает за изменение скорости по величине; составляющая a_n называется нормальным ускорением и отвечает за изменение скорости по направлению. Для нахождения значений и представим вектор скорости в виде . Первый множитель V дает численную величину скорости, второй множитель указывает ее направление. Применяя к этому выражению правило дифференцирования произведения, получим

, (1.5)

где - приращение орта касательной к траектории, соответствующее элементарному пути , проходимому точкой по траектории за малое время dt (рис. 1.3а). Элементарный центральный угол (в радианах) связан с соотношением

,

где R – радиус соприкасающейся окружности на участке dS. Из рисунка 1.3б видно, что , а по направлению вектор совпадает с ортом главной нормали . Таким образом,

и ; ; . (1.6)

Очевидно, что нормальная и тангенциальная составляющие полного ускорения перпендикулярны друг другу (рис 1.3в).

Рис. 1. 3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.

Исследуем свойства нормальной и тангенциальной составляющих ускорения, ограничившись для простоты случаем, когда траектория является плоской кривой. Если скорость растет по величине, вектор направлен в ту же сторону, что и . Если скорость уменьшается по величине, вектора и направлены в противоположные стороны. При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует. Криволинейное движение всегда ускоренное. Заметим, что обращается в 0 в точке перегиба криволинейной траектории, так как по обе стороны от этой точки вектора направлены в разные стороны, и изменение направления на противоположное должно происходить плавно с обращением в 0 в точке перегиба. Так как вектора и взаимно перпендикулярны, поэтому ускорение по модулю равно:

(1.7)

При криволинейном движении точки вектор ее ускорения всегда отклонен от касательных траектории в сторону ее вогнутости, но угол между векторами и может быть как острым, так и тупым (рис. 1.3в).

3. Кинематика вращения твердого тела. Элементарный угол поворота. Угловая скорость и угловое ускорение.

Другой важной абстракцией, с которой имеют дело в механике, является абсолютно твердое тело. В природе нет недеформированных тел. Всякое тело под действием приложенных к нему сил деформируется в большей или меньшей степени. Однако, в тех случаях, когда деформация тела мала и не влияет на его движение, рассматривают модель, называемую абсолютно твердым телом. Абсолютно твердым телом называется физическое тело в тех случаях, когда его отдельные части остаются неподвижными друг относительно друга. Движение абсолютно твердого тела можно всегда представить как сумму поступательного и вращательного движений.

При поступательном движении любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе. В этом случае для кинематического описания поступательного движения абсолютно твердого тела достаточно рассмотреть движение какой-либо одной его точки.

При вращательном движении все точки абсолютно твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Для определения основных закономерностей вращательного движения рассмотрим простейший случай вращения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Положение тела в этом случае однозначно определяется заданием угла поворота , то есть тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. Мерой перемещения за малый промежуток времени dt служит аксиальный вектор элементарного поворота тела вокруг оси. По модулю он равен углу поворота тела вокруг оси за время и направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта: из конца вектора поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки.

Кинематической характеристикой направления и быстроты вращения тела служит угловая скорость , равная отношению вектора элементарного поворота тела к продолжительности этого поворота .

Вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости тела, называется угловым ускорением .

Промежуток времени, в течение которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью , совершает один оборот, то есть поворачивается на угол радиан. называется периодом .

Частота вращения показывает, сколько оборотов совершает тело за единицу времени .

При равнопеременном вращении вокруг неподвижной оси модуль углового ускорения постоянен:

.

В этом случае угловая скорость изменяется по линейному закону с течением времени:

.

А угол поворота изменяется по закону

,

где и - проекции начальной угловой скорости и углового ускорения на ось вращения Z.

При равномерном вращении вокруг неподвижной оси модуль угловой скорости постоянен.

В этом случае угол поворота тела прямо пропорционален времени вращения