- •Контрольная работа № 2
- •Раздел IV. Введение в математический анализ
- •Глава 6. Пределы и непрерывность
- •6.1. Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины и их свойства
- •Свойства бесконечно малых функций
- •Свойства бесконечно больших функций
- •6.2. Теоремы о пределах.
- •6.3. Способы раскрытия неопределённостей вида и
- •6.4. Первый и второй замечательные пределы
- •6.5. Непрерывность функции. Точки разрыва
- •Примеры решения типовых задач
- •Контрольный тест по после изучения раздела IV «Введение в математический анализ»
- •Раздел V. Дифференциальное исчисление одной переменной
- •Глава 7. Производная
- •7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной
- •7. 2. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •7.3. Основные правила дифференцирования. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •7.4. Дифференцирование сложной функции
- •7.5. Дифференцирование функции, заданной неявно
- •7.6. Дифференцирование степенно-показательной функции
- •7.7. Дифференциал функции
- •Примеры решения типовых задач
- •Контрольный тест после изучения главы 7 «Производная»
- •Глава 8. Приложения производной
- •8.1. Признаки возрастания и убывания функции
- •8.2. Экстремум функции
- •8.3. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •8.4. Асимптоты графика функции
- •8.5. Схема полного исследование функции методами дифференциального исчисления и построения её графика
- •Пример решения типовой задачи
- •Контрольный тест после изучения главы 8 «Приложения производной»
- •Раздел VI. Функции нескольких переменных
- •Глава 9. Функция двух переменных
- •9.1. Основные определения
- •9.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •9.3. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных
- •Пример решения типовой задачи
- •Контрольный тест после изучения главы 9 « Функция двух переменных»
- •Задания для контрольной работы № 2
- •Контрольные вопросы к аттестации по предмету
7. 2. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен. Производная функции в точке обозначается символами: , или , .
Итак, по определению
. (7.1)
Производная является функцией аргумента х, поскольку, если для данного значения аргумента существует предел отношения (7.1), то только один. При конкретных числовых значениях аргумента производная – число. В случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная, эта переменная указывается в виде значка внизу: , .
Рассматривая задачу о скорости, мы получили, что , т.е. . Отсюда следует механический смысл производной: скорость есть производная от пройденного пути по времени .
Если слово «скорость» понимать в более широком смысле, то можно производную функции по считать скоростью изменения переменной в точке . Поэтому понятие производной находит широкое применение при изучении скорости течения различных процессов (например, скорость охлаждения нагретого тела; скорость осуществления работы – мощность; скорость обесценивания оборудования и т.п.).
Из рассмотренной задачи о касательной следует, что , т.е. . Отсюда следует геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в точке графика функции.
На основании ранее приведённых рассуждений получаем, что уравнение невертикальной касательной к кривой в её точке можно записать в виде
.
Пример. Найти производную функции .
В этом случае
, .
Следовательно, .
7.3. Основные правила дифференцирования. Таблица производных
Дифференцирование функции (отыскание производных) непосредственно на основе определения производной оказывается практически неудобной процедурой. Нахождение производных значительно упрощается, если использовать общие правила дифференцирования, к рассмотрению которых мы переходим.
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной величины равна нулю.
2. Производная суммы функций (имеющих производные) равна сумме производных этих функций.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
4. Производная произведения двух функций равняется сумме произведений производной первого множителя на второй и на производной второго множителя на первый.
5. Производная частного или дроби (при условии, что числитель и знаменатель дроби имеют производные и знаменатель в нуль не обращается) равняется разности произведений производной числителя на её знаменатель и производной знаменателя на числитель, делённой на квадрат знаменателя.
Таблица производных
Элементарных функций |
Сложных функций |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
6. |
6. |
7. |
7. |
8. |
8. |
9. |
9. |
10. |
10. |
11. |
11. |
12. |
12. |
13. |
13. |
14. |
14. |