Контрольная работа № 2

Раздел IV. Введение в математический анализ

Глава 6. Пределы и непрерывность

6.1. Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины и их свойства

Пусть функция определена на некотором числовом множестве и точка а является предельной точкой для множества , т.е. в любой малой окрестности точки а содержатся значения , отличные от а. Точка а может принадлежать множеству , или не принадлежать ему, следовательно, функция либо определена в точке а, либо не определена.

Определение. Функция имеет предел (конечный или бесконечный), при стремлении к а (или в точке а), если для любой, стремящейся к а последовательности значений аргумента , входящих в область определения функции, но отличных от , соответствующая последовательность значений функции , всегда стремиться к .

Этот факт символически записывается в виде

или при .

Определение. Число называется пределом функции при стремлении х к а (или в точке а), если , что , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

Определение. Число называется пределом функции при стремлении x к бесконечности, если , такое что, для любых x, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . При этом пишут

Определение. Функция называется бесконечно малой (б/м) при x a, если , т.е. если , такое что , выполняется неравенство .

Пример. Рассмотрим функцию . Эта функция является бесконечно малой, т.к.

Доказательство: выберем произвольное число и найдем число N, такое что при всех n>N будет выполняться неравенство т.к. или , т.е. N=

Свойства бесконечно малых функций

1. Если функции и - бесконечно малые функции, то их сумма + - есть функция бесконечно малая функция.

2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую, есть функция бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую функцию, есть функция бесконечно малая.

4. Произведение двух бесконечно малых функций, есть функция б/м.

Определение. Функция называется бесконечно большой (б/б), если для любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа , найдётся такой номер , зависящий от , что для всех выполняется неравенство .

Свойства бесконечно больших функций

1. Если - бесконечно большая функция, то - функция бесконечно малая.

2. Если - бесконечно малая функция не обращается в нуль, то - бесконечно большая.

3. Если и - бесконечно большая функции, то их сумма + - есть функция бесконечно большая.

4. Если - бесконечно большая функция и - ограничена, то + - есть функция бесконечно большая.

5. Произведение двух бесконечно больших функций, есть функция бесконечно большая .

6.2. Теоремы о пределах.

Теорема 1. Для того чтобы число А было пределом функции при , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в виде , где - б/м функция.

Теореме 2. Предел постоянной величины равен самой этой постоянной, т.е. .

Теорема 3. Если функции и имеют пределы при , то при имеют пределы также их сумма + , произведение и, при условии , частное , причём

.

Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

, c=const.

Теорема 5. Если для функции , и в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство и , то .

Следствие. Если функция имеет предел при , то .

Теоремы о пределах позволяют находить пределы функций, определяемых алгебраическими действиями над переменной, предел которой задан. В простейших случаях достаточно в выражение функции вместо переменной x подставить её предельное значение. Проверим правильность этого способа на примере.