Пример решения типовой задачи
№ 1.
Найти
частные производные и полный дифференциал
функции
Решение:
Считая y постоянной и дифференцируя z как функцию x, получаем частную производную по x:
Аналогично, считая x постоянной и дифференцируя z как функцию y, получаем частную производную по y:
Найдем полный дифференциал исходной функции:
Контрольный тест после изучения главы 9 « Функция двух переменных»
1. Частным приращением функции по переменной называется …………… между новым значением функции и старым значением .
1. Разность; 2. Сумма; 3. Произведение; 4. Частное.
2.
Вставить пропущенное словосочетание:
частной
производной функции двух переменных
и
по одной из этих переменных называется
…………………. соответствующего частного
приращения функции к приращению
рассматриваемой независимой переменной
при стремлении
(
)
к 0 (если этот предел существует и
конечен).
3. Найти сумму частных производных функции z = х2у в точке (1; 1).
1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) 4
4. Выберете правильный ответ: Полный дифференциал функции двух переменных равен:
1).
;
2).
;
3)
; 4).
.
5. Среди приведенных ниже высказываний найдите истинные
1. Количество частных производных функции нескольких переменных зависит от количества ее независимых переменных
2. Производная произведения равна произведению производных
3. Задача о вычислении периметра криволинейной трапеции не приводит к понятию производной
4. Производная постоянной величины равна единице
6.
Частная производная
в точке
функции
имеет вид:
1) 4ln2; 2) –16ln2; 3) –4ln2.
7.
Дифференциал функции
в точке
равен:
1) dx – 2dz; 2) 2dx – dz; 3) dx + 2dz.
8.
Частная производная
функции
равна:
1)
2; 2)
;
3)
;
4)
.
Задания для контрольной работы № 2
Задания № 1-20. Найти указанные пределы.
1.
а)
б)
в)
г)
д)
2.
а)
б)
в)
г)
д)
3.
а)
б)
в)
г)
д)
4.
а)
б)
в)
г)
д)
5.
а)
б)
в)
г)
д)
6.
а)
б)
в)
г)
д)
7.а)
б)
в)
г)
д)
8.
а)
б)
в)
г)
д)
9.
а)
б)
в)
г)
д)
10.
а)
б)
в)
г)
д)
11.
а)
б)
в)
г)
д)
12.
а)
б)
в)
г)
д)
13.
а)
б)
в)
г)
д)
14.
а)
б)
в)
г)
д)
15.
а)
б)
в)
г)
д)
16.
а)
б)
в)
г)
д)
17.
а)
б)
в)
г)
д)
18.
а)
б)
в)
г)
д)
19.
а)
б)
в)
г)
д)
20.
а)
б)
в)
г)
д)
Задания №21-40. Задана функция у = f(x).1) Исследовать функцию на непрерывность на всей числовой оси. 2) Найти и классифицировать точки разрыва, если они существуют. 3) Построить график функции.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Задания № 41-60. Найти производные первого порядка, пользуясь формулами дифференцирования.
41.
а)
;
б)
;
в)
;
г)у=arctg(е2x
+ 3); д) у=
;
е) у=lntg(2x+1);
ж) у=хarcsin
x.
42.
а) у =
;
б) у=x2cos7x;
в)
;
г)
;
д) у=(х+2)
;
е) у=ln5sinx;
ж) у=
.
43. а)
у=
;
б) у=sin4х+cos4x;
в) у=
;
г) у=3хarcsin(2x);
д) у=ln
;
е) у=(х2+2х+2)е-х;
ж) у=
.
44. а)
у=
;
б) у=
;
в) у=
;
г) у=lnsin(2x+5);
д) у=хarctg3x;
е) у=3sin2xcos2x;
ж) у=
.
45. а)
у=
;
б) у=
–
;
в) у=(lnx+1)2cos2x
г) у=arcsin
;
д) у=5tgx
+3
;
е) у=
;
ж) у=
46. а)
у=
;
б) у=
;
в) у=(3–sin2x)3
г) у=
;
д). у=
+sin(3x+9);
е) у=arctgx2+7x6+2
; ж) у=(sinx)tg
x.
47
а) у=
;
б) у=
+4xlnx;
в) у=arcsin(3x2+2);
г) у=
;
д) у=
;е)
у=
;
ж) у=
.
48.
а) у=
;
б) у=
;
в) у=arctg
;
г) у=
;
д) у=хarccos
;
е) у=ехcosx;
ж) у=(sin2x)cosx.
49.
а) у=
;
б) у=
;
в)
;
г) у=е
;
д). у=
+8x+7
е) у=(х+х2)х;
ж) у=
.
а) у=
;
б) у=
;
в) у=х 2
;
г) у=
;
д) у=arctg
;
е) у=sinxcos(7x+
5); ж) у=(х3) ln
х.
51.
а) у=
;
б) у=
;
в)
;
г) у=arctg(lnx)+ln(sinx);
д) у=2cos(4x+x2);
е) у=(1–х2)cos2x
ж) у=
.
52.
а) у=
;
б) у=
arccos
;
в) у=
;
г)у=еctg3x
д) у=arctg2x+6x2;
е) у=
+7
;;
ж) у=
.
a) у=
;
б) у=
;
в) у=
г) у=
;
д). у=ln3sin(3x+3);е)
у=ln(x2+5);
ж) у=
.
) у=
;
б) у=
;
в) у=
;
г) у=ln(2x3+3x2);
д) у=
;
е) у=8х
;
ж) у=
.
a)
;
б) у=(5х+ х 3)lnx
2; в) у=
+2sin4x+4;
г). у=0,7arctgх
; д) у=arccos
;
е) у=cos (10x+x3);
ж) у=
.
a)
;
б)
;
в) у=
;
г) у=
;
д)у=хarccosx–
;е)
у=(3х+2)sin
3x; ж) у=(sin2x)
x.
a) у=
;
б)
;
в) у=(5+х 3)2е
–х; г) у=
;
д) у=
;
е) у = ехsin
2x; ж) у=
.
a) у=
;
б) у=
;
в) у=
;
г) у=2sin3x
д) у=2tg3(x3+2)
е) у=(х 2+6)ln3x;
ж) у=
.
59. a)
у=
;
б) у=lnctg3x;
в) у=
;
г) у = arctg(tg2x+2);
д) у=
+7
;е)
у=sin26x+3x2;
ж) у=
.
60.a)
у=x7–
;
б) у=
arctg
;
в)
;
д) у=ln2sin3x;
г) у=
;;е)
у=
ctg
;
ж) у=
.
Задания № 61-80. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у= f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
Задания № 81-100. Вычислить частные производные первого порядка, полный дифференциал.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
