Примеры решения типовых задач
№1. Вычислить пределы следующих функций:
а).
;
б).
;
в).
г).
;
д).
;
е).
;
ж).
.
а).
.
Разложим
квадратный трехчлен в числителе на
множители по формуле
где x1
и x2
– корни
квадратного уравнения
Разложив на множители и знаменатель,
сократим дробь на
получим:
б).
.
Пределы
числителя и знаменателя при
равны нулю. Умножив числитель и
знаменатель на сопряженный знаменателю
множитель
и затем сократив дробь на
получим:
.
в). = .
Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х4
г). =
Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х4
=
=
=
.
д).
=
.
Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся формулой первого замечательного предела, получим:
=
.
е).
.
Сделаем замену у = . Тогда при и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:
=
=
=
.
ж). .
Очевидно,
что
Тогда:
№ 2. Задана функция у = f(x):
1) Исследовать функцию на непрерывность на всей числовой оси.
2) Найти и классифицировать точки разрыва, если они существуют.
3) Построить график функции.
f(x)
=
Решение:
Р
ассмотрим
поведение функции в точках х
= 0, х
= 1.
Найдем правый и левый предел функции в точке х = 0:
и
,
х=0–
точка разрыва первого рода т.к.пределы
конечны.
Найдем правый и левый предел функции в точке х = 1:
и
-
один из пределов равен бесконечности,
значит х=1–точка
разрыва второго рода.
Контрольный тест по после изучения раздела IV «Введение в математический анализ»
1.
Вычислить
1).1/2; 2). -1/3; 3). 2/3; 4).-1; 5). 0.
2.
Функция
,
определенная на интервале
,
называется непрерывной в точке
,
если:
1).
;
2)
;
3)
;
4)
.
3.
Используя свойства пределов функций,
найти предел
1) 2; 2) 3; 3) 21; 4)6; 5) 5.
4.
Используя свойства пределов функций,
найти предел
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
5. Указать первый замечательный предел.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
6.
Предел
равен:
1)
0; 2) 2; 3)
;
4) 1.
7.
Если функция
— функция, непрерывная на отрезке
,
причем ее значения принадлежат отрезку
;
— функция, непрерывная на отрезке
,
то сложная функция
непрерывна в промежутке:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
8. Указать второй замечательный предел.
1)
;
2)
;
3)
;4)
.
9.
Предел
равен:
1)
;
2) 0; 3)
;
4) 2.
10.
Предел функции
в точке
существует и равен
,
если:
1)
существует предел справа
;
2)
существует предел слева
;
3) существуют левосторонний и правосторонний пределы.
4)
существуют односторонние пределы,
равные между собой, т.е.
;
11.
Точкой разрыва функции
является точка:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.