Общая постановка и решение транспортной задачи.

Общая постановка задачи выглядит следующим образом:

Цель задачи:

,

т.е. необходимо найти такую схему доставки грузов, которая обеспечит минимальные транспортные издержки,

где i – индекс пунктов отправления груза

j – индекс пунктов назначения груза

Х_ij – количество груза, перевозимого от пункта отправления до пункта назначения, т.

При решении задачи должны соблюдаться следующие условия допустимости (ограничения):

1) , j = 1, 2, 3.

т.е. из всех пунктов отправления в каждый пункт назначения должно быть завезено столько груза, сколько предусмотрено планом.

V₁ = 250 V₂ = 100 V₃ = 300

2) , i = 1, 2, 3.

т.е. во все пункты назначения из каждого пункта отправления необходимо вывезти весь запланированный к перевозке груз.

Q₁ = 400 Q₂ = 50 Q₃ = 200

3) Х_ij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3.

т.е. объем перевозок между любыми пунктами не должен быть величиной отрицательной.

Кроме того, необходимо, чтобы количество заполненных клеток равнялось m + n – 1 = 5, т.е. 3 + 3 – 1 = 5.

Если у нас количество заполненных клеток окажется меньше, чем m + n – 1 < 5, тогда количество недостающих заполненных клеток необходимо заполнить так называемым значащим «0».

Если же количество клеток окажется больше, чем m + n – 1 > 5, тогда в каких-то пунктах будут получаться двойное значения оценочных чисел и задачу решить не возможно, необходимо перераспределить план таким образом, чтобы количество заполненных клеток равнялось m + n – 1 = 5.

Условия оптимальности:

Схема доставки груза будет оптимальной, если оценочные числа пунктов отправления (а₁, а₂, а₃) и оценочные числа пунктов назначения груза (в₁, в₂, в₃) будут удовлетворять следующим условиям:

1) в_j – а_i = d_ij для X_ij > 0,

т.е. для пунктов, между которыми осуществляются перевозки;

2) в_j – а_i ≤ d_ij для X_ij = 0,

т.е. для пунктов, между которыми перевозок нет.

С помощью первого уравнения условий оптимальности определяются оценочные числа, а с помощью второго – проверяется оптимальность плана доставки грузов.

Исходные данные:

1. 3 пункта отправления груза i = 1, 2, 3

2. 3 пункта назначения груза j = 1, 2, 3

3. Количество груза в пунктах отправления (Q_i), тыс. т.

Q₁ = 400 Q₂ = 50 Q₃ = 200

4. Количество груза в пунктах назначения (V_j), тыс. т.

V₁ = 250 V₂ = 100 V₃ = 300

5. Стоимость доставки 1 т груза (руб/т) d_ij

Алгоритм решения задачи

1. Заполняется матрица (таблица 14) с исходными данными.

Таблица 14

Матрица решения задачи.

Пункты отправления	Пункты назначения			аi	Qi
	j = 1 Чебоксары	j = 2 Ульяновск	j = 3 Волжский
i = 1 Тверь	619,8 100	751	721 300	1000	400
i = 2 Топорня	681 50	823	1310	938,8	50
i = 3 Камское Устье	205 100	248,2 100	617,8	1414,8	200
вj	1619,8	1663	1721
Vj	250	100	300

Количество заполненных клеток соответствует допустимым условиям и равно m + n – 1 = 5

2. Пользуясь первым условием оптимальности плана в_j – а_i = d_ij, через заполненные клетки определяем оценочные числа а_i и в_j. Следует учесть, что устанавливать оценочные числа можно только через заполненные клетки, где Х_ij > 0.

При этом произвольно принимаем значение a₁ = 1000, тогда

в₁а₁) в₁ – а₁ = 619,8

в₁ – 1000 = 619,8 в₁ = 1619,8

в₃а₁) в₃ – а₁= 721

в₃ – 1000 = 721 в₃ = 1721

в₁а₂) в₁ – а₂ = 681

3621 – а₂ = 681 а₂ = 938,8

в₁а₃) в₁ – а₃= 205

1619,8 –а₃ = 205 а ₃= 1414,8

в₂а₃) в₂ – а₃ = 248,2

в₂ – 1414,8 = 248,2 в₂= 1663

Таким образом найденные оценочные числа равны:

в₁ = 1619,8 в₂ = 1663 в₃ = 1721

а₁ = 1000 а₂ = 938,8 а₃ = 1414,8

1. Проверим оптимальность первоначального плана по второму условию оптимальности:

в_j – а_i ≤ d_ij для X_ij = 0 (для пустых клеток).

2.1 1663 – 1000 = 663 < 751нарушений нет

2.2 1663 – 938,8 = 724,2 < 823 нарушений нет

3.2 1721 – 938,8 = 782,2 < 1310 нарушений нет

3.3 1721 – 1414,8= 306,2 < 617,8 нарушений нет

Данный план является оптимальным.

Вывод:

Для найденной конечной схемы грузопотоков подсчитываем сумму транспортных издержек:

D_o= 100 * 619,8 + 300 * 721 + 50 * 681 +100 * 205 + 100 * 248,2 = 61980 + 216300 + 34050 + 20500+ 24820 = 357650 тыс.руб.

В соответствии с оптимальной схемой грузопотоков следует, что:

1. из Твери в Чебоксары должно быть доставлено 100 тыс. тонн груза в прямом внутреннем водном сообщении;

2. из Топорни в Чебоксары должно быть доставлено 50 тыс. т. груза в прямом внутреннем водном сообщении;

3. из Камского Устья в Чебоксары должно быть доставлено 100 тыс. т. груза во внутреннем водном сообщении;

4. из Камского Устья в Ульяновск должно быть доставлено 100 тыс. т. груза во внутреннем водном сообщении;

5. из Твери в Волжский должно быть доставлено 300 тыс. т. груза в прямом внутреннем водном сообщении.