1.3.4.2. Порядок моделирования динамики экосистем

Моделирование изменений в экосистеме проводят в следующем порядке. Состояние (значение) показателя системы в начальный момент времени обозначим V⁰_j, состояние в момент времени t – V^t_j.

1. Задаем вершины графа, компоненты рассматриваемой экосистемы (строим граф). Задаем значения коэффициентов связи на дугах графа е_ij и записываем их в матрицу смежности.

2. Принимаем значение показателя в i-й вершине графа V⁰_j в начальный момент времени t=0. То же самое действие выполняем для всех остальных вершин графа.

3. В какой-либо вершине, называемой активизирующей, задается определенное изменение, импульс p ⁰_i = V^-1_i - V^-2_i , т.е. вычисляется разность между значением показателя в активизирующей вершине в моменты времени, условно обозначенные t=-1 и t=-2 (иными словами, это 2 временных интервала, предшествующие моменту начала моделирования, обозначаемого как t=0) (рис. 1.8). Таких вершин может быть несколько, и в каждой вершине задается свое начальное изменение активизирующего показателя.

4. Выполняем расчет изменений показателей во всех вершинах графа с учетом импульса, возникшего p ⁰_i в вершине i для моментов времени t=1,2,3,4,…

Значения, определяющие состояние j-го показателя в вершинах орграфа, имеющего k вершин, будут рассчитываться по формуле

k

i=1,

ij

V^t_j = V^t-1_j + Σe_ij p^t-1_{i , i=1…k , (1)}

где k – число вершин графа,

Р_i^t-1 – активизирующий показатель,

p ^t-1_i = V^t-1_i - V^t-2_i.

5. Расчет изменения значений показателей в вершинах графа – итерационный процесс, результат которого может быть представлен в табличном или графическом виде (рис.1.8).

Рис. 1.8. Графическое представление результатов моделирования динамики

экосистемы

Рассмотрим пример построения графа и расчета показателей в его вершинах.

В экосистеме обитает 2 хищника и 5 жертв. Как изменится их количество через 5 временных интервалов, если хищников стало на одного больше и как это повлияет на устойчивость системы ?

Построим знаковый орграф (рис. 1.9) и соответствующую ему матрицу смежности.

I j	Хищники (х)	Жертвы (ж)
Хищники (х)	0	-1
Жертвы (ж)	+1	0

Рис. 1.9. Ориентированный граф системы “хищник-жертва” и соответствующая ему матрица смежности

Поскольку рост числа хищников снижает число жертв, то в матрице значение -1 показывает, что между ними в данной системе существует отрицательная связь (e_ij= -1), а +1 означает, что рост числа жертв вызывает увеличение количества хищников (чем больше ресурса, тем благоприятнее его потребителю), т.е. между этими элементами существует положительная связь.

Согласно условию задачи активизирующие значения p⁰_х=1, p⁰_ж=0.

Рис. 1.10. Изменение показателей в вершинах графа с течением времени

Начальные значения V⁰_х = 1, V⁰_ж=5.

Рассчитываем значения V и p для 1-го временного интервала (момента времени t=1) по формуле (1). При расчете V¹_х значение e_ij , учитывающее влияние жертв на хищников, берем из столбца j=1, строки i=2 матрицы смежности:

e_ij = e_ж-х =+1,

V¹_х = V⁰_х + e_ж-х* p⁰_ж =1+1*0= 1,

V¹_ж= V⁰_х + e_х-ж * p⁰_х = 5+(-1)*1= 4,

p¹_х= V¹_х - V⁰_х = 0,

p¹_ж= V¹_ж - V⁰_ж = 4 - 5 = -1.

Аналогично для 2-го временного интервала :

V²_х = V¹_х + e_ж-х * p¹_ж =1+1*(-1)=1-1=0,

V²_ж= V¹_ж + e_ij * p¹_х = 4+(-1)*0= 4,

p²_х=-1,

p²_ж=0.

Для 3-го временного интервала :

V³_х = 0+1*(0)=0, V³_ж= 4 +(-1)*(-1) = 5, p³_х=0, p³_ж=1.

Для 4-го временного интервала :

V⁴_х = 0+1*1=1, V⁴_ж=5+(-1)*0 = 5, p⁴_х=1, p⁴_ж=0.

Для 5-го временного интервала :

V⁵_х = 1+1*0=1, V⁵_ж=5+(-1)*1 = 4, p⁵_х=0, p⁵_ж=-1.

Построим графики зависимости V=f(t) для обеих вершин (рис. 1.10).

Анализируя построенный график, можно сделать вывод, что увеличение числа гетеротрофов не ведет к нарушению устойчивости системы, поскольку количество автотрофов не уменьшается.

 Вопросы для самопроверки

1. Неизбежны ли экологические противоречия в системе “Человеческое общество – природа” ?

2. Какое значение для природы имеют взаимоотношения между хищником и жертвой ?

 Вопросы для самостоятельного изучения

1. Какие главные аргументы позволяют рассматривать живую природу и человеческое общество в рамках единой динамической системы ?

2. Какие механизмы позволяют устойчиво существовать системе “хищники – жертвы” ?

3. Объясните различие механизмов действия отрицательной и положительной обратной связи в замкнутых контурах причинных зависимостей. Приведите технические и биологические примеры.