Тема 2. Элементы комбинаторики

Правило суммы: если первый предмет может быть выбран n₁ способом, второй – другими n₂ способами (не такими как у первого) и т.д., то количество способов выбора одного предмета (или первого, или второго, …, или k-го) из объединённой совокупности предметов равно .

Правило произведения: если первый предмет может быть выбран n₁ способом, второй – другими n₂ способами (не такими как у первого) и т.д., то количество способов выбора (различных последовательностей заполнения строки) k предметов (первого, второго, …, и k-го) из объединённой совокупности предметов равно .

Факториалом числа называют произведение натуральных чисел от 1 до n, обозначают n! (читается n факториал): . По определению, 0! = 1. Очевидно, что .

Число всех возможных способов разместить n предметов по m местам называется числом размещений с повторениями из n по m и обозначается или U(n, m): .

Число всех возможных способов разместить n предметов по m местам (m  n), не более чем по одному на место, в определённом порядке называется числом размещений без повторений из n по m и обозначается или A(n, m): .

Число всех возможных способов разместить п предметов по п местам, не более чем по одному на место, называется числом перестановок из n и обозначается или : .

Число всех возможных способов разместить n предметов по m местам, не более чем по одному на место, в произвольном порядке называется числом сочетаний из n по m и обозначается или С(n, m): .

Число всех возможных способов разместить п предметов, среди которых предмет m₁ повторяется r₁ раз, предмет m₂  r₂ раза, …, предмет m_k  r_k раз ( ), по п местам, не более чем по одному на место, называется числом перестановок с повторениями и обозначается :

.

Решите задачу 1 Вашего варианта контрольного задания.

Тема 3. Условные и безусловные вероятности событий

События А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности зависимых событий называются условными.

Вероятность события А в предположении, что уже произошло событие В, называют условной вероятностью события А при условии В и обозначают .

Теорема умножения: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

.

Следствие:

Вероятности независимых событий называются безусловными.

События А и В называют независимыми, если вероятность произведения этих событий равна произведению их соответствующих вероятностей

.

Для вычисления вероятности заданного числа наступления события в серии однотипных опытов применяется формула Бернулли:

,

где n – число независимых опытов; m – число ожидаемых наступлений события А; р – вероятность наступления события А в одном опыте.

Решите задачи 2 и 3 Вашего варианта контрольного задания.

Тема 4. Априорные и апостериорные вероятности событий

Пусть требуется найти вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н₁, Н₂, … , Н_n, образующих полную группу несовместных событий. Эти события называют гипотезами, а вероятности этих событий – априорными вероятностями. В этом случае вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

.

Пусть вероятности гипотез до проведения опыта известны и равны соответственно , , … , . Произведён опыт, в результате которого произошло событие А. Требуется пересчитать вероятности гипотез в связи с появлением этого события, т.е. вычислить условную вероятность для каждой гипотезы. Условные вероятности гипотез после проведения опыта и наступления события А называют апостериорными вероятностями, а для их вычисления используются формулы Байеса:

.

Решите задачу 4 Вашего варианта контрольного задания.