Тема 8. Оценки параметров эмпирического распределения

Любая оценка параметра  выборки (обозначим её ) представляет собой некоторую функцию = (х₁, ... , х_п), зависящую от выборки и поэтому являющуюся случайной величиной. Такие оценки называются статистиками.

Если в качестве оценки параметра ищется число, то оценка называется точечной.

Эмпирическим (или выборочным) средним называют математическое ожидание оцениваемого признака, вычисленное для выборки по таблице эмпирического распределения:

где n – объём выборки; x_i  i-е значение (или среднее значение для интервала) оцениваемого признака; k – количество повторяющихся значений (или интервалов) оцениваемого признака;  частота повторяющихся значений (или i-го интервала).

Эмпирической (или выборочной) дисперсией называют дисперсию оцениваемого признака, вычисленную для выборки по таблице эмпирического распределения:

Для получения несмещённой оценки дисперсии надо ввести поправку:

.

Эмпирическим среднеквадратическим отклонением _выб называют значение квадратного корня из эмпирической дисперсии оцениваемого признака: .

Однако если число наблюдений мало, то случайный характер величины может привести к значительному расхождению между  и . Возникает задача интервальной оценки параметра , т.е. оценки не одним числом, а интервалом так, чтобы вероятность поглощения этим интервалом параметра , т.е. вероятность двойного неравенства

,

была не меньше заданного числа  (0    1).

Вероятность  называется доверительной вероятностью (или уровнем доверия), а соответствующий интервал – доверительным интервалом с уровнем доверия .

Доверительный интервал для математического ожидания т нормального распределения с уровнем доверия  при известном среднеквадратическом отклонении  или установленным по выборке достаточно большого объёма ( ) определяется из соотношения:

,

где  аргумент функции Лапласа (х), для которого ( ) = /2 (определяется из таблицы, представленной в [1], приложение 1).

Доверительный интервал для m при неизвестном  определяется из соотношения:

,

где  значение распределения Стьюдента функции с степенями свободы и уровнем доверия  (определяется из таблицы, представленной в [1], приложение 2); s  несмещённая оценка для среднеквадратического отклонения.

Решите задачи 9 и 10 Вашего варианта контрольного задания.

Тема 9. Статистическая проверка гипотез

Под статистической гипотезой понимается любое предположение относительно произвольной статистики, которое можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

В качестве статистических гипотез возможно рассмотрение предположений о виде неизвестного распределения, о параметрах генеральной совокупности известных распределений, о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок.

Обычно исследование начинается с того, что какая-либо гипотеза, которая из неформальных соображений представляется хорошо согласующейся с ожидаемыми эмпирическими данными, объявляется основной (нулевой) и обозначается Н₀. Альтернативная (конкурирующая) гипотеза, утверждающая, что гипотеза Н₀ неверна, обозначается Н₁. В действительности верна одна и только одна из гипотез (Н₀ или Н₁), но какая именно – заранее неизвестно. В этой связи строится процедура проверки гипотезы (критерий согласия), позволяющая по результатам наблюдений принимать или отвергать данную гипотезу.

Выборочное пространство X разбивается на две непересекающихся области: и . Уровень доверия  (вероятность попадания в область ) принимается близким к единице. Величину называют уровнем значимости и обычно берут равной 0,05; иногда 0,01 или 0,005.

Правило проверки гипотезы формулируется следующим образом.

Если результаты наблюдений , то считается, что гипотеза H₀ подтверждается эмпирическими данными, т. е. гипотеза H₀ принимается. Если же выборочное значение , то предполагается, что данная гипотеза H₀ не согласуется с результатами наблюдений, т.е. H₀ отвергается.

Область называют областью принятия гипотезы, область – критической областью (или критерием гипотезы).

Применение процедуры проверки гипотезы сопряжено с ошибками двух родов:

отвергнуть гипотезу, когда она верна (ошибка первого рода);

принять гипотезу, когда она неверна (ошибка второго рода).

Вероятности ошибок первого () и второго рода () можно представить условными вероятностями:

 = P (отклонения Н₀Н₀ – верна) = ,

 = P (принятия Н₀Н₀ – ложна) = .

Если выборочные данные , тогда с вероятностью ошибки первого рода наблюдается случайное событие, которое противоречит гипотезе. Если вероятность такого случайного события незначительна, значит, наблюдается практически невозможное событие и данная гипотеза должна быть отвергнута.

Для проверки гипотез о виде распределения используют критерий Пирсона (хи-квадрат). В качестве основной гипотезы (Н₀) принимается утверждение о том, что исследуемая генеральная совокупность имеет заданный закон распределения. Альтернативная гипотеза Н₁, как правило, не высказывается, и задача ставится так: согласуются ли данные выборки с предполагаемым законом распределения?

Для проверки гипотезы Н₀ критерий Пирсона имеет вид

,

где m_i – число наблюдений, попавших в i-й интервал выборки; – ожидаемое (для предполагаемого закона распределения) число попаданий в i-й интервал; k – число интервалов.

Далее по таблице критических точек распределения (см. [1], приложение 3) для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы (где r – число параметров предполагаемого закона распределения) находится критическая точка . Принимается одно из решений:

1) принять гипотезу Н₀ (генеральная совокупность распределена по предполагаемому закону), если ;

2) отклонить гипотезу Н₀, если .

Дополнительные рекомендации. Самостоятельная работа должна носить систематический и непрерывный характер в течение всего семестра (периода между сборами). Время для самостоятельной работы отводится каждым студентом, исходя из фактического уровня знаний, умений и навыков по курсу, но не менее 54 часов (по три часа еженедельно). При этом на разовое изучение учебного материала желательно выделять не менее одного часа.

Правило выбора варианта контрольного задания: номер варианта соответствует последней цифре номера личной зачётной книжки. Например, если последняя цифра номера личной зачётной книжки «3», то номер варианта  3; если последняя цифра  «0», то номер варианта  10.

Задачи, которые необходимо выполнить по данному варианту, выбираются из раздела «Варианты контрольных заданий». Студент должен проявить максимум самостоятельности.

Контрольное задание оформляется на листах формата А4 (210297 мм). Все страницы, исключая титульный лист, нумеруются. Образец титульного листа контрольной работы приведен в приложении 1. Вид представления  рукописный или машинописный  определяется студентом, исходя из личных склонностей и возможностей.

Общее требование к рукописным работам – они должны быть читаемы, т.е. доступными для прочтения другими людьми и не содержать неоднозначно воспринимаемых букв.

При представлении работы в машинописном виде необходимо выдерживать следующие параметры текстового процессора: поля: верхнее – 2 см; нижнее – 2 см; левое – 2,5 см; правое – 1,5 см; переплёт – 0 см; колонтитулы – 1,25 см; шрифт – Times New Roman; высота шрифта – 14; ориентация страницы – книжная; отступ абзаца – 1,25 см; межстрочное расстояние – одинарное; выравнивание – по ширине; стиль текста – обычный. Все страницы, исключая титульный лист, нумеруются.

Задачи и их решения (независимо от варианта оформления) излагаются (не оставляя пустые строки) последовательно, на одной стороне каждой страницы. При отсутствии решения излагать задачу не обязательно.

Для решения задач, требующих проведения сложных вычислений, целесообразно использование соответствующих прикладных компьютерных программ. Например, табличного процессора Microsoft Excel. Корректное применение таких программ позволит сэкономить время и избежать возможных ошибок в вычислениях.

Общее требование к рукописным работам – они должны быть читаемы, т.е. доступными для прочтения другими людьми и не содержать неоднозначно воспринимаемых букв.

Окончательно оформленное контрольное задание должно поступить (сдаётся лично) на кафедру (ауд. 316) не позднее, чем за неделю до сдачи зачёта по курсу. Студенты, не получившие зачёт за контрольное задание, к сдаче зачёта по курсу не допускаются.

Одной из форм оказания помощи студентам в самостоятельном изучении учебного материала являются консультации, проводимые преподавателями кафедры. На кафедре в начале семестра составляется расписание консультаций с указанием дней, часов, места их проведения и консультирующего преподавателя.

Посещение консультаций студентами добровольное. Консультации проводятся, как правило, индивидуальные. Их целями являются разъяснение вопросов, возникающих у обучаемых при самостоятельном изучении учебного материала и подготовке контрольного задания, углубление и закрепление знаний по отдельным вопросам и темам курса, оказание методической помощи в выборе рациональных методов самостоятельной работы. При необходимости (по просьбе старосты учебной группы) могут проводиться и групповые консультации.