Тема 2. Числові послідовності

ЛЕКЦІЯ 5

1. Означення числової послідовності.

2. Арифметичні дії над числовими послідовностями.

3. Обмежені і необмежені числові послідовності.

4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.

5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.

1. Означення числової послідовності

Числовою послідовністю називається відображення .

Отже, якщо кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число , то множина дійсних чисел

(1)

називається числовою послідовністю.

Числа називаються елементами (або членами) послідовності. Символ називається загальним елементом послідовності, а його номером. Скорочено послідовність (1) позначається так: . Наприклад, є послідовність .

Послідовність вважається заданою, якщо вказано правило, за яким кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число . Найчастіше числову послідовність задають формулою загального ( го) члена послідовності: . Наприклад, формула задає числову послідовність

Числову послідовність можна задати рекурентною формулою, тобто формулою, в якій указується правило, за котрим можна виразити наступний її член через попередні. Наприклад, арифметична прогресія з першим членом та різницею визначається рекурентною формулою

або .

Рекурентною формулою

задається послідовність

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,

що відома в математиці як " ряд Фібоначчі", а її члени – як числа Фібоначчі. Ці числа мають ряд цікавих властивостей. Нині вони використовуються при обробці інформації на ЕОМ, при відшуканні оптимальних методів програмування тощо.

2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .

Добутком послідовності на число називається послідовність , тобто

.

Сумою послідовностей і називається послідовність :

;

різницею – послідовність :

;

добутком – послідовність :

;

часткою  послідовність :

; де .

2. Обмежені і необмежені числові послідовності

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке число , що для всіх її членів виконується нерівність

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке число , що для всіх її членів виконується нерівність

Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена зверху й знизу.

Нехай послідовність обмежена, тобто існують такі числа і , що для будь-якого її члена виконується нерівність Нехай . Тоді умову обмеженості послідовності можна записати так: .

Послідовність називається необмеженою, якщо для будь-якого числа існує елемент цієї послідовності, для якого виконується нерівність .

Зауваження. Необмежена послідовність може бути обмеженою зверху або знизу.

Приклади.

Послідовність обмежена знизу ( ), але не обмежена зверху.

Послідовність обмежена зверху ( ), але не обмежена знизу.

Послідовність обмежена зверху і знизу ( ).

Послідовність не обмежена.