- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
- •Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
3. Найбільш вживані числові множини
Нехай . Будемо використовувати наступні позначення:
відрізок,
інтервал,
півінтервал,
півінтервал.
Указані множини ще називають проміжками. Ми розглядатимемо також і нескінченні множини, використовуючи для цього символи .
Околом точки називається довільний інтервал , який містить точку , тобто .
Інтервал називається околом точки . Точка називається центром цього околу, а число його радіусом. Зазвичай так позначають околи з центром у точці і дуже малим радіусом, тобто коли досить мале.
4. Межі числових множин
Нехай задано непорожню числову множину .
Множина називається обмеженою зверху, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність
Множина називається обмеженою знизу, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність
При цьому числа і називаються відповідно верхньою та нижньою межею множини .
Множина, яка обмежена зверху й знизу, називається обмеженою.
Очевидно, що будь-яка обмежена зверху (знизу) множина має безліч верхніх (нижніх) меж.
Найменша верхня межа обмеженої зверху множини називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається (supremum (лат.) – найвище).
Найбільша нижня межа обмеженої знизу множини називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається (infimum (лат.) – найнижче).
Якщо , то для довільного числа існує таке, що . Якщо , то для довільного числа існує таке, що .
Теорема. Будь-яка непорожня обмежена зверху числова множина має точну верхню межу. Якщо ж вона обмежена знизу, то має точну нижню межу.
Доведення. Нехай – непорожня обмежена зверху числова множина. Тоді множина чисел, які обмежують зверху, непорожня. Із означення верхньої межі випливає, що виконується нерівність . За аксіомою неперервності дійсних чисел існує таке число , що виконується нерівність .
Із цієї нерівності випливає, що обмежує зверху, тобто є верхньою межею, і є найменшим із усіх верхніх меж, тобто є точною верхньою межею.
Друга частина теореми доводиться аналогічно.
Якщо множина не обмежена зверху ( знизу ), то за домовленістю пишуть .
5. Абсолютна величина числа
Абсолютною величиною (модулем) числа називається саме число , якщо , число – , якщо .
Абсолютна величина числа позначається символом .
Із означення абсолютної величини випливає, що нерівності і , де рівносильні, тобто .
Теорема. Абсолютна величина суми двох чисел не більше від суми абсолютних величин чисел, тобто .
Доведення. За означення абсолютної величини
для будь-яких чисел . Додаючи почленно ці нерівності, одержимо
.
Остання нерівність рівносильна нерівності
.
Теорема. Абсолютна величина різниці двох чисел не менше від різниці абсолютних величин чисел, тобто
.
Доведення. Для будь-яких чисел маємо
За попередньою теоремою
.
Звідси одержуємо
.
Зазначимо, що мають місце співвідношення