- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
- •Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
4. Математична індукція
Математична індукція це метод доведення математичних тверджень, який полягає у наступному: твердження , яке залежить від натурального параметра , вважається доведеним, якщо доведено і із припущення, що справедливе , доведено справедливість .
Доведення твердження називається першим кроком індукції (базисом індукції), а доведення за припущення справедливості називається індуктивним переходом. При цьому називається параметром індукції, а припущення при доведенні називається індуктивним припущенням.
Нехай – зчисленна множина і для n N
є множина впорядкованих n-членних ланцюгів. Тоді за твердженням 4 і методом (принципом) математичної індукції є зчисленною множиною .
ЛЕКЦІЯ 3
Дійсні числа.
Деякі властивості дійсних чисел.
1. Дійсні числа
Уведемо аксіоматичне означення дійсних чисел. Із шкільного курсу математики відомо, що множина дійсних чисел складається із множини раціональних та ірраціональних чисел. Раціональним називається число, яке можна подати у вигляді звичайного дробу , де p, q − цілі числа, причому . Ірраціональним називається число, яке не є раціональним. Будь-яке раціональне число є або цілим, або скінченним чи нескінченним періодичним десятковим дробом. Ірраціональні числа – це нескінченні періодичні десяткові дроби. Виявлення ірраціональних чисел пов'язане з установленням у школі Піфагора (570-496 р. до н. е.) несумірності діагоналі квадрата і його сторони, тобто з установленням того факту, що довжина діагоналі квадрата не може бути виражена раціональним числом, якщо в значенні одиниці вимірювання взяти довжину сторони квадрата.
Ми дамо аксіоматичне означення множини дійсних чисел.
Множиною дійсних чисел називається множина елементів, для яких виконуються наступні аксіоми.
1. Аксіоми додавання і множення
Для будь-якої пари та дійсних чисел однозначно виражене число , яке називається їх сумою.
Для будь-якої пари і дійсних чисел однозначно виражене число , яке називається їх добутком.
Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:
Існує єдине число 0, таке, що для будь-якого числа .
Для будь-якого числа існує таке число , що (число називається протилежним числу ).
Існує єдине число 1, таке, що для будь-якого числа .
Для будь-якого числа існує таке число , що ; число позначається також символом і називається оберненим до .
2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
Для будь-яких дійсних чисел a, b установлене одне із співвідношень:
Відношення "=" має властивість: якщо і , то .
Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:
Якщо і , то .
Якщо , то .
Якщо і , то .
Зауваження. Замість пишуть
Аксіома неперервності дійсних чисел
Нехай і дві множини, які складаються із дійсних чисел. Тоді, якщо , виконується нерівність , то існує принаймні одне дійсне число , для якого виконується нерівність .
Зауваження. У множині лише раціональних чисел аксіома неперервності не виконується. Дійсно, нехай складається із множини раціональних чисел, таких, що , а − із множини раціональних чисел . Тоді виконується нерівність . Проте не існує раціонального числа , такого, щоб виконувалася б нерівність . Таким числом могло бути лише число , а воно, як відомо, ірраціональне.