- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
- •Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
1. Поняття метричного простору
Означення метричного простору. Багато фундаментальних фактів математичного аналізу не пов'язані з алгебраїчною природою дійсних чисел, а спираються лише на поняття відстані.
Узагальненням уявлень про дійсні числа як про множину, в якій уведено відстань між елементами, є поняття метричного простору.
Метричним простором називається пара , що складається з деякої множини елементів (точок) і відстані – однозначної, невід'ємної функції, визначеної для будь-якої пари , яка задовольняє наступні аксіоми:
тоді і тільки тоді, коли ;
(аксіома симетрії);
(аксіома трикутника).
Сам метричний простір, як правило, позначається .
Множина дійсних чисел із відстанню
утворює метричний простір, що позначається .
Виконання аксіом метричного простору для введеної таким чином відстані випливає із властивостей абсолютної величини дійсного числа.
Відкритою кулею у метричному просторі називається сукупність точок , які задовольняють умову
.
Відкрита куля радіуса з центром називається -околом точки і позначається .
У просторі відкритою кулею з центром є множина точок , для яких виконується нерівність
,
а − околом точки є множина точок , для яких
.
Точка називається точкою дотику множини , якщо будь-який її окіл містить хоча б одну точку з . Сукупність усіх точок дотику множини позначається і називається замиканням цієї множини.
Точка називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить нескінченно багато точок із .
Гранична точка може належати, а може і не належати .
Точка називається ізольованою точкою множини , якщо вона належить і існує такий -окіл точки , у якому немає точок із , за винятком самої точки .
Усяка точка дотику множини є або гранична, або ізольована точка цієї множини.
Нехай – послідовність точок у метричному просторі . Говорять, що ця послідовність збігається в точці , якщо таке, що .
Інакше це означення можна сформулювати так: послідовність збігається до , якщо .
Теорема. Щоб точка була точкою дотику множини , необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність точок із , яка збігається до .
Нехай – дві множини простору . Множина називається щільною у , якщо . Зокрема, множина називається скрізь щільною у просторі , якщо .
Наприклад, множина раціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій.
Множина називається ніде не щільною, якщо вона не щільна в жодній кулі, тобто в кожній кулі існує інша куля , яка не має з жодної спільної точки.
Простори, в яких є злічена скрізь щільна множина, називаються сепарабельними.
Множина метричного простору називається замкнутою, якщо , тобто якщо вона містить усі свої граничні точки.
Відрізок числової прямої є замкнутою множиною.
Теорема. Переріз будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною.
Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо існує окіл цієї точки, який цілком міститься в .
Множина, всі точки якої − внутрішні, називається відкритою.
Інтервал числової прямої є відкритою множиною.
Теорема. Щоб множина була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповнення до всього простору було замкнутим.
Теорема. Об'єднання (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною. Переріз (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною.
Теорема 1.5. Усяка відкрита множина на числовій прямій є сумою (об'єднанням) скінченного або зчисленного числа інтервалів, які попарно не перетинаються (не мають спільних елементів).