Пример выполнения

Передаточная функция разомкнутой системы, состоящей из последовательно соединенных ПИД-регулятора и объекта – апериодического звена второго порядка:

.

Передаточная функция замкнутой системы, полученной охватом единичной отрицательной обратной связью разомкнутой системы (см. рис. 28) :

,

откуда:

или

.

Характеристическое уравнение системы:

.

Таким образом, получаем систему третьего порядка. Зададим значения Т₁ = 5; Т₂ = 15; k = 80;  = 1,2;  = 2. Необходимо найти настройки ПИД-регулятора: k_п, k_д, k_и.

Разместим на комплексной области корни характеристического уравнения в соответствии с рис. 64.

1. Находим угол :

.

2. Угол находим по формуле (75), учитывая, что для системы третьего порядка n = 3:

, ,

,

,

.

3. Величину радиуса-вектора находим из (74)

,

,

,

.

4. Корни характеристического уравнения:

,

,

,

.

5. Характеристическое уравнение замкнутой системы в соответствии с (76):

или

.

6. Сравнивая полученное характеристическое уравнение с

_,

можно записать

^,

откуда, задавая , получаем

.

7. Рассмотрим модель замкнутой системы:

или

Задание g(t) принимаем в виде единичной ступенчатой функции g(t)=1(t). Решим последнее дифференциальное уравнение с помощью преобразований Лапласа. Известно, что переходной процесс системы h(t) находится из соотношения:

,

где W_z(s) – передаточная функция замкнутой системы:

^.

Тогда переходной процесс системы (рис. 65):

Рис. 65. Переходный процесс в системе

8. Построим графики функций управления, ошибки и выхода системы. Для этого опишем замкнутую систему с помощью системы уравнений:

,

,

_{или в конечно-разностном виде:}

^,

^,

^.

_{Выражая из последнего уравнения yi+2, составим программу для получения искомых y, u, e.}

Обращение к функции f(k_p, k_i, k_d, S):

_{Для построения графиков функций (рис. 66, 67) введем дополнительные обозначения:}

Из рис.65 и 66 видно, что между графиком y, рассчитанным приближенным способом и h(t), полученным аналитически, практически нет различий.

Рис. 66. Выход системы и ошибка управления

Рис. 67. Управляющее воздействие на входе объекта

Контрольные вопросы

1. Как изобразить на комплексной плоскости область заданной степени колебательности и устойчивости системы?

2. Как аппроксимировать полученную область заданной степени колебательности и устойчивости системы?

3. Как определить расстояние от начала координат до каждого корня на комплексной плоскости?

4. Каков алгоритм поиска корней характеристического уравнения системы?

5. Как будут располагаться в комплексной плоскости корни системы четвертого порядка?

6. Как перейти от дифференциальных уравнений системы к конечно-разностной форме записи?