Лабораторная работа № 12 синтез регулятора

Цель работы: изучение метода синтеза регулятора по заданному запасу устойчивости объекта управления и ограничениям на колебательность выхода системы.

Порядок выполнения работы

Для заданного объекта управления выбрать структуру регулятора (ПИ или ПИД) и пользуясь изложенной методикой получить параметры настройки регулятора.

Построить динамические характеристики системы. Решения найти при нулевых начальных условиях:

• аналитическим способом;

• одним из численных методов, реализованным в виде процедуры Mathcad.

Теоретические сведения

Пусть передаточная функция разомкнутой цепи (см. рис. 27, 28):

, (69)

тогда передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

, (70)

где N(s) – числитель передаточной функции разомкнутой системы;

L(s) – знаменатель передаточной функции разомкнутой системы;

k – коэффициент усиления;

y(t) – выход системы;

g(t) – задание для системы регулирования.

y(s) и g(s) характеризуют соответственно состояние динамического процесса и задание в изображениях по Лапласу. Эти переменные связаны соотношением:

,

в котором е(s) – величина рассогласования между заданием g(s) и текущим значением регулируемой переменной y(s).

В (69) предполагается, что степень числителя меньше степени знаменателя. Из (70) следует:

. (71)

Если в (71) формально заменить s на оператор дифференцирования , то выражение

(72)

является дифференциальным уравнением в операторной форме для замкнутой системы.

В задачах автоматического регулирования переменная y(t) часто представляет собою отклонение текущего состояния от его номинального (заданного) значения. Поэтому целью регулирования в этом случае является выполнение «нулевого» задания, в результате которого переменная состояния y(t) совпадает с его номинальным значением g(t). Следовательно, в такой постановке g(t) можно принять равным нулю, и в результате дифференциальное уравнение (72) приобретает вид

.

Уравнение является характеристическим уравнением замкнутой системы.

При проектировании регулятора необходимо решать задачу распределения на комплексной плоскости корней  =   j характеристического полинома (полюсов передаточной функции). Требуется решить вопрос, как расположить корни, чтобы переходной процесс был в некотором смысле оптимальным, а система обладала желаемыми показателями качества.

Для этого можно поступить следующим образом: в характеристическом полиноме необходимо выделить полюсы, предназначенные для компенсации нулей, а оставшийся полином формировать из условия желаемого расположения корней, учитывая следующее.

Обычно переходной процесс характеризуется степенью устойчивости  и колебательностью . Эти два показателя должны обеспечиваться расположением полюсов независимо от порядка замкнутой системы.

Задание определенной колебательности заставляет ограничивать область расположения корней двумя лучами (АО и DО на рис. 63), которые составляют с вещественной осью угол . Задание степени устойчивости  заставляет ограничивать область расположения корней вертикальной прямой ВС, проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии  внутри сектора с углом , как изображено на рис. 63.

Для решения задачи расположения корней на комплексной плоскости ломаную линию АВСD можно аппроксимировать левой ветвью гиперболы. При этом сектор формируется двумя асимптотами:

,

а угловой коэффициент асимптот

.

Рис. 63. Область расположения корней замкнутой системы

Гипербола описывается уравнением:

.

Полагая a = , выделим произвольную точку M(x, y) на гиперболе (рис. 64). Расстояние OМ от точки M(x, y) до начала координат обозначим R. Координаты точки M(x, y):

, ,

где R – радиус-вектор точки M(x, y), а  – угол радиус-вектора. Подставляя x и y в уравнение гиперболы, получаем:

, (73)

где

b = atg() = a.

Рис. 64. Расположение корней на комплексной плоскости

Из (73) определяем величину радиус-вектора:

.

С учетом того, что a = ,

.

Свяжем положение точки M(x, y) с порядком характеристического полинома замкнутой системы.

Разделим сектор POK на n равных секторов, соответствующих порядку характеристического уравнения замкнутой системы. Элементарный сектор будет иметь величину . Положение точки M(x, y) на пересечении луча i – сектора с гиперболой определяется полярными координатами:

. (74)

, i = 1, 2, …n. (75)

Отсюда следует, что, задавая величину колебательности , степень устойчивости  и порядок замкнутой системы, определяем координаты точек M_i(x_i, y_i) из соотношений

, .

Координаты x_i и y_i соответствуют действительным и мнимым частям корней характеристического уравнения:

x_i = Re _i y_i = Im _i.

Корни замкнутой системы регулирования будут иметь вид

_i = Re x_i  Im y_i ,

а в случае действительных корней

_i = Re x_i .

Характеристическое уравнение будет иметь вид произведения состоящего из этих сомножителей:

(76)