Пример выполнения

1. Аналитическое решение

Воспользуемся известным представлением решения линейного дифференциального уравнения в матричном виде. Для (67) получим

.

Подставляя исходные данные, представим описание динамической связи между входными переменными и переменными состояния системы:

.

Решение относительно переменных измеряемого выхода можно получить из соотношения:

.

Так как главная матрица А системы дифференциальных уравнений диагональная, то справедливо равенство

.

В результате решение можно записать следующим образом:

Динамику измеряемых y(t) и не измеряемых x(t) переменных системы исследуем с использованием Mathcad.

Зададим исходные данные для системы:

Изменим начальный индекс используемых в расчете массивов на 1 (по умолчанию 0), задав значение системной переменной:

Вычислим сначала подинтегральное выражение:

^.

Найдем x(t) и y(t):

^,

^.

Изобразим график решения, задав предварительно значения аргумента . На рис. 61, а и 61, б изображены не измеряемые переменные состояния х(t), а на рис. 61, в и 61, г – измеряемые y(t) выходы системы.

а в

б г

Рис. 61. Переходные процессы объекта

2. Численные методы решения Решение с помощью функции odesolve

Решим поставленную задачу с помощью функции odesolve и сравним полученный результат с аналитическим решением. Исходные данные для задачи определены ранее.

К имеющемуся расчету добавим уравнение, начальные условия и решим задачу с помощью функции odesolve

Задача Коши решена на отрезке [0, 500]. На рис. 62, а и 62, б изображены не измеряемые переменные состояния х(t), а на рис.62, в и 62, г - измеряемые y(t) выходы системы. Штрихами на графиках показано точное решение системы дифференциальных уравнений, найденное ранее. Как видно, аналитическое и численное решения совпадают.

а в

б г

Рис. 62. Переходные процессы, полученные численно

Решение с помощью функции rkfixed

Сформируем для решения задачи вид правых частей и начальных условий системы дифференциальных уравнений:

^.

Запишем вызов функции rkfixed.

^.

Функция возвращает значение – матрицу X_rk, состоящую из трех столбцов и 501 строки. В первом столбце приведено значение аргумента t в узлах расчета, во втором и третьем – значения х₁ и х₂ соответственно. Номер строки – номер узла расчета. Таким образом, получаем, что

, , .

Графики решения совпадают с представленными на рис. 62.

Контрольные вопросы

1. Для чего требуется линеаризация системы дифференциальных уравнений?

2. Какие методы решения систем дифференциальных уравнений вы знаете?

3. Как записать уравнение баланса масс для модели процесса смешения?

4. Какое тождество описывает баланс масс в статике?

Содержание отчета

В отчете привести:

- схему процесса смешения и вывод математической модели смешения;

- решения линеаризованной системы дифференциальных уравнений, полученные двумя способами и графики решения.