4 С помощью правила Лопиталя вычислить следующие пределы:

№	а)	б)
1	2	3
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10

1	2	3
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20

5 Установить вид неопределенности в данных пределах. Преобразовав имеющиеся неопределенности к виду или , вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

№	а)	б)	в)
1	2	3	4
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9

1	2	3	4
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19

1	2	3	4
5.20

Решение типовых примеров

1.20 Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на отрезке .

Решение. Данная функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале . Кроме того, выполняются условия: . Значит, на интервале существует такая точка , что , т. е. теорема Ролля для данной функции справедлива.

В данном примере точку можно найти. Действительно, рассмотрим уравнение .

,

Решение уравнения , действительно, принадлежит интервалу . Теорема Ролля выполняется.

2.20 Для данной функции и отрезка найти точку такую, что , или показать, что такая точка существует.

,

Решение. В данном случае

.

Равенство принимает вид:

.

Получаем уравнение . Покажем, что оно имеет корень на интервале . Обозначим . Так как

, то по свойствам непрерывных функций, функция имеет ноль на интервале , и данное равенство выполняется в этой точке.

3.20 Используя теорему Лагранжа, доказать неравенство при указанных значениях переменной x.

Решение. Пусть . По теореме Лагранжа для функции , , существует точка , такая что верно равенство:

, т.е. .

Так как функция возрастает на отрезке , то она принимает минимальное значение в точке . Поэтому

или .

Пусть теперь . Применим теорему Лагранжа к функции на отрезке . Тогда для некоторого имеем

Поскольку –x здесь величина положительная, а достигает максимального значения при , то

или .

Таким образом, при опять получим .

При имеем , т.е. неравенство тоже выполняется.

4.20 С помощью правила Лопиталя вычислить следующие пределы:

а) ; б) .

Решение. а)

.

б)

.

5.20 Установить вид неопределенности в данных пределах. Преобразуя имеющиеся неопределенности к виду или , вычислить пределы с помощью правила Лопиталя.

а) ; б) ; в) .

Решение а) Имеем неопределенность вида . Преобразуем ее к виду  . Получим

Продолжая этот процесс далее, применив правило Лопиталя ещё 7 раз, получим

б) Имеем неопределённость вида . Преобразуем её к виду и далее используем асимптотическую формулу при . Получим

.

Так как ,

,

то исходный предел равен .

в) Имеем неопределённость вида . Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

.

Тогда .

Так как

то исходный предел равен , то есть 1.

Лабораторная работа № 16

Приложения дифференциального исчисления

Необходимые понятия и теоремы: монотонные функции, критерий монотонности функции, точки локального и глобального экстремума функции, необходимые и достаточные условия существования локального экстремума.

Литература: [1] с. 261 – 266, [4] с. 317 – 327.