![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Высшего профессионального образования
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Тема 6. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Тема 4. Векторы.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Тема 10. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Тема 10. Неопределённый интеграл.
- •Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 14. Случайные события и их вероятности.
- •Тема 15. Случайные величины.
- •Тема 16. Элементы математической статистики. Предварительная обработка статистических данных.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
Тема 8. Производная и дифференциал функции.
Приращением
функции
в точке
,
соответствующим приращению аргумента
называется выражение
.
Производной
1-ого порядка
функции
в точке
называется конечный предел
.
Геометрический смысл производной
состоит в том, что число
равно угловому коэффициенту касательной
к графику функции
в
точке
:
,
где
-
угол наклона касательной к оси
прямоугольной декартовой системы
координат
.
Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференцируемости в точке является непрерывность функции в данной точке.
Любая элементарная функция дифференцируема во всякой внутренней точке естественной области определения функции , в которой аналитическое выражение её производной имеет смысл. Производная , рассматриваемая на множестве тех точек , где она существует, сама является функцией. Операция нахождения производной называется также дифференцированием функции .
Основные правила дифференцирования элементарных функций.
1. Если и дифференцируемые функции, - постоянная, то:
|
|
|
|
|
|
2.
Если функция
дифференцируема в точке
,
а функция
дифференцируема в точке
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
и имеет производную:
или
кратко
..
При
дифференцировании сложных функций для
производной используют обозначения
типа
там, где необходимо уточнить, по какой
переменной ведётся дифференцирование.
Производной
2-ого порядка
от функции
называется производная от её первой
производной и обозначается
,
т. е.
.
В общем производной
порядка
(
-ой
производной)
называется
производная от
-ой
производной и обозначается
,
т.е.
.Для
производной
используется также обозначение
.
Производная
функции
вычисляется её последовательным
дифференцированием:
,
,
,
…,
.
Дифференциалом
функции
в точке
называется выражение
,
т.е.
.
В частности, для функции
имеем
,
т.е. дифференциал независимого переменного
совпадает с приращением
.
Поэтому дифференциал функции
записывается в виде
.
Дифференциалом
2-ого
порядка
функции
называется дифференциал от её первого
дифференциала и обозначается
,
т. е.
.
В общем дифференциалом
порядка
называется дифференциал от дифференциала
-ого
порядка и обозначается
,
т.е.
.
Если
-
независимая переменная, то для нахождения
дифференциала
функции
справедлива формула
.
Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:
,
где
.
Чем
меньше значение
,
тем точнее приближённая формула.
Частной
производной (1-ого порядка)
функции
в
точке
по переменной
называется предел
,
если этот предел существует. Частную
производную обозначают
или
.
Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.
Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:
,
(
).
Производные
(
)
называются смешанными.
Аналогично определяются и обозначаются
частные производные порядка выше
второго. Для функции
частные производные обозначаются:
,
,
,
,
,
,…
или
,….
Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.
Полным
дифференциалом
функции
в точке
называется выражение вида
,
где
.
Дифференциалом
2-ого
порядка
функции
называется дифференциал от её первого
дифференциала и обозначается
,
т. е.
.
В общем дифференциалом
порядка
называется дифференциал от дифференциала
-ого
порядка и обозначается
,
т.е.
.
Для функции справедливы формулы:
,
.
Первый
дифференциал применяют для приближённого
вычисления значений функции
в малой окрестности точки
,
в которой функция дифференцируема, по
формуле:
.
В частности, для функции
по формуле:
,
где
,
.
Чем меньше значение
,
тем точнее формула.