![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Высшего профессионального образования
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Тема 6. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Тема 4. Векторы.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Тема 10. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Тема 10. Неопределённый интеграл.
- •Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 14. Случайные события и их вероятности.
- •Тема 15. Случайные величины.
- •Тема 16. Элементы математической статистики. Предварительная обработка статистических данных.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
131-140. Установить тип ДУ первого порядка и найти:
а) общее решение ДУ:
1а)
2а)
б)
общее и частное решения ДУ:
,
.
Решение.
Тип ДУ первого порядка устанавливают по форме его записи.
1а) Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде
.
Действительно,
осуществив в исходном уравнении замену
и умножив его затем на
,
получим:
,
т.е. уравнение с разделяющимися
переменными.
Нахождение
общего решения уравнения
,
путём деления обеих его частей на
,
сводится к интегрированию уравнения с
разделёнными переменными
,
где
,
,
общее решение которого записывается в
виде
.
Разделим
обе части уравнения
на множитель
,
получим ДУ с разделёнными переменными:
.
Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:
,
где
-
произвольная постоянная.
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка должно обязательно содержать одну произвольную постоянную.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):
,
Тогда
общее решение дифференциального
уравнения запишется в виде:
.
Ответ: , где - произвольная постоянная.
2а)
Данное уравнение является однородным
дифференциальным уравнением первого
порядка, так как его можно записать в
виде
.
Действительно, выполнив преобразования:
,
получим
.
При
выполнении преобразований однородного
ДУ первого порядка к виду
следует учесть, что
.
Нахождение
общего решения однородного ДУ первого
порядка с помощью подстановки
,
или
,
где
-
новая неизвестная функция, сводится к
нахождению общего решения ДУ с
разделяющимися переменными относительно
функции
с последующей заменой
.
С
помощью подстановки
,
уравнение
или
приведём к ДУ с разделяющимися переменными
относительно новой неизвестной функции
.
Получим:
.
Последнее
уравнение есть уравнение с разделяющимися
переменными. Сведём его, разделив обе
части уравнения на множитель
к уравнению с разделёнными переменными.
Получим:
.
Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:
,
где
-
произвольная постоянная.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):
;
.
Тогда
общее решение последнего дифференциального
уравнения запишется в виде:
или, используя свойства логарифмов, в
виде:
,
где
-
новая произвольная постоянная.
Теперь
в найденном решении вернёмся к старой
неизвестной функции
,
выполнив обратную замену
.
В итоге получим:
или
.
Ответ:
,
где
- произвольная постоянная.
б)
Данное
уравнение является линейным дифференциальным
уравнением (ЛДУ) первого порядка, так
как его можно записать в виде
,
где
,
.
Сначала
найдем общее решение линейного ДУ
первого порядка. Его ищем в виде
,
где
и
-
новые неизвестные функции.
Общее
решение ЛДУ 1-го порядка находится с
помощью подстановки
,
где
,
-
новые неизвестные функции. Одну из них,
например
,
находят в виде
,
где
- какая-нибудь первообразная для функции
,
тогда другую неизвестную функцию
находят в виде общего решения ДУ:
.
В итоге будет найдено и общее решение
исходного уравнения в виде
Частное
решение ДУ, удовлетворяющее начальному
условию
получают из общего решения данного
уравнения при конкретном значении
произвольной постоянной
.
Находят
как решение уравнения, получаемого
подстановкой в общее решение начального
условия.
Функцию
найдём в виде
,
где
- какая-нибудь первообразная для функции
.
Вычислив интеграл, получим
.
Тогда
.
Простейшим
ДУ первого порядка называется уравнение
вида
.
Общее решение такого уравнения находится
интегрированием и записывается в виде
.
Функцию
найдём как общее решение ДУ:
,
где
,
.
Данное уравнение
является простейшим ДУ первого порядка.
Его общее решение найдём интегрированием
и запишем в виде
.
Вычислив интеграл (с точностью до
постоянной), получим:
.
Таким
образом
.
Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде:
.
Теперь
найдём частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
.
Его получим
из общего решения
при конкретном значении произвольной
постоянной
,
которое найдём из уравнения, полученного
подстановкой начального условия
в общее
решение. В результате получим:
.
Тогда частное решение исходного
дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальному условию
,
запишется в виде:
.
Ответ:
- общее решение;
частное решение.
141-150. Требуется найти:
а)
общее
решение
простейшего
ДУ 2-ого порядка
;
б)
общее и
частное решения однородного линейного
ДУ 2-ого порядка с постоянными
коэффициентами:
,
,
;
в)
общее решение линейного ДУ 2-ого порядка
с постоянными коэффициентами и правой
частью специального вида:
.
Решение а).
Общее решение простейшего ДУ второго порядка находят, выполняя последовательно два интегрирования, и записывают в виде:
.
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка должно обязательно содержать две разные произвольные постоянные.
Данное
уравнение дважды проинтегрируем. После
первого интегрирования получим:
.
Интеграл вычислим (с точностью до
постоянного слагаемого) методом
интегрирования по частям. Получим:
.
Тогда
.
После
второго интегрирования получим:
.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого). Получим:
;
;
.
Тогда
.
Ответ:
.
Решение
б). Сначала
найдём общее решение ДУ в виде:
,
где
- фундаментальная система его частных
решений.
Общее
решение однородного линейного ДУ второго
порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид
,
где
- фундаментальная система его частных
решений;
-произвольные постоянные.
Фундаментальная
система решений
строится на основе характера корней
характеристического уравнения
.
А именно:
1)
если
- пара различных действительных корней
характеристического уравнения, то ФСР
имеет вид
;
2)
если
- пара одинаковых
действительных корней, то ФСР имеет вид
;
3)
если
- пара комплексно-сопряжённых корней,
то ФСР имеет вид
.
Корни характеристического уравнения , являющегося квадратным, находят на множестве комплексных чисел по формулам:
1)
если
дискриминант уравнения
,
то
;
2)
если
дискриминант уравнения
,
то
.
Для
нахождения ФСР, составим характеристическое
уравнение
для данного дифференциального уравнения
и найдём его корни на множестве комплексных
чисел. Так как дискриминант
,
то
,
,
т.е. характеристическое уравнение имеет
два различных действительных корня.
Следовательно, ФСР имеет вид
.
Тогда
общее решение данного ДУ запишется в
виде:
.
Теперь
найдём частное решение данного ДУ,
удовлетворяющее начальным условиям:
,
.
Для этого сначала найдём производную
общего решения:
.
Затем подставим начальные данные в
выражения для общего решения и его
производной, получим систему линейных
алгебраических уравнений для определения
значений произвольных постоянных
и
:
.
Решив
систему, найдём:
,
.
Тогда частное решение данного ДУ
запишется в виде:
.
Ответ: ; .
Решение в).
Общее
решение неоднородного ЛДУ 2-го порядка
имеет вид
,
где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения,
- какое-нибудь частное решение данного
неоднородного уравнения.
Частное
решение
уравнения с правой частью специального
вида
ищется методом
неопределённых коэффициентов
в виде
,
где
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами.
Примерами полных многочленов с
неопределёнными коэффициентами степени
соответственно являются:
,
,
,
,….
Для нахождения коэффициентов многочленов
и
,
надо подставить решение
в неоднородное дифференциальное
уравнение и приравнять коэффициенты
при подобных членах в левой и правой
частях полученного равенства. В результате
получим систему уравнений, решив которую,
найдём значения коэффициентов.
Общее
решение данного ДУ найдём в виде:
,
где
- фундаментальная система частных
решений соответствующего ему однородного
ДУ:
;
- какое-нибудь
частное решение данного неоднородного
дифференциального уравнения.
Сначала
найдём ФСР
соответствующего однородного ДУ
.
Для этого составим характеристическое
уравнение
для
данного однородного дифференциального
уравнения и найдём его корни на множестве
комплексных чисел. Так как дискриминант
,
то
,
,
т.е. характеристическое уравнение имеет
два одинаковых действительных корня.
Следовательно, ФСР имеет вид
.
Затем
найдём частное решение
неоднородного уравнения
,
имеющего
правую часть
специального вида
,
где
,
,
,
.
Частное решение найдём в виде
,
где
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами. В
данном случае: число
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому
;
,
поэтому
,
,
где
- неизвестные постоянные, подлежащие
определению. Таким образом, частное
решение с неизвестными постоянными
запишется в виде:
.
Для
определения значений постоянных
и
,
найдём производные
и
подставим выражения для
вместо
в неоднородное уравнение
.
Учитывая,
что:
,
,
получим:
.
Приравняв,
в правой и левой части полученного
равенства, постоянные коэффициенты,
стоящие при одинаковых функциях, получим
систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных
и
:
.
Решив систему, найдём:
,
.
Частное решение
запишется тогда в виде:
.
Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:
.
Ответ:
.