![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Высшего профессионального образования
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Тема 6. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Тема 4. Векторы.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Тема 10. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Тема 10. Неопределённый интеграл.
- •Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 14. Случайные события и их вероятности.
- •Тема 15. Случайные величины.
- •Тема 16. Элементы математической статистики. Предварительная обработка статистических данных.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
Тема 4. Векторы.
Арифметическим
вектором
называют упорядоченную совокупность
из
чисел:
и обозначают
.
Числа
называют компонентами
вектора
,
число компонент называют его размерностью.
Векторы
и
называют равными,
если они одинаковой размерности и их
соответствующие компоненты равны:
,
.
Суммой
векторов
и
одной размерности, называют вектор
той же размерности, для которого:
,
.
Произведением
вектора
на число
называют вектор
той же размерности, для которого:
,
.
Множество
всех
-мерных
векторов, в котором введены операции
сложения и умножения на число,
удовлетворяющие определённым требованиям
(аксиомам) называют векторным
пространством
и обозначают
.
Скалярным
произведением
двух арифметических векторов
и
называют число:
.
Два вектора
и
называют ортогональными,
если
.
Вектором
(геометрическим)
называется направленный отрезок,
задаваемый упорядоченной парой точек
(началом и концом вектора). Обозначают
вектор
или
.
Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной
и обозначается
или
.
Углом между
векторами
и
называется угол
,
,
на который следует повернуть один из
векторов, чтобы его направление совпало
с направлением другого вектора, при
условии, что их начала совпадают.
Проекцией
вектора
на вектор
называется число
.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы
и
называются равными
и пишут
,
если они коллинеарны, одинаково направлены
и имеют равные длины. Векторы
и
называются противоположными
и пишут
,
если они коллинеарны, направлены в
разные стороны и имеют равные длины.
Суммой
векторов
и
называется вектор
,
соединяющий начало вектора
и конец вектора
,
при условии, что конец вектора
совпадает с началом вектора
(правило
треугольника).
Произведением
вектора
на действительное число
называется
вектор
:
1)
коллинеарный вектору
;
2)
имеющий длину
;
3)
направленный одинаково с вектором
,
если
,
и противоположно, если
.
Ортом
вектора
,
называется вектор
,
имеющий единичную длину и направление
вектора
:
.
Базисом
в пространстве
называется упорядоченная тройка
некомпланарных векторов, базисом
на плоскости
– упорядоченная пара неколлинеарных
векторов, базисом
на прямой
–
любой ненулевой вектор на этой прямой.
Базис, в котором все векторы попарно
перпендикулярны и имеют единичную
длину, называется ортонормированным.
Векторы ортонормированного базиса
обозначаются:
и
,
и называются базисными
ортами.
Различают правый и левый ортонормированные
базисы. Базис
-называется
правым, если кратчайший поворот от
к
совершается против хода часовой стрелки,
в противном случае он – левый. Базис
-называется
правым, если из конца вектора
кратчайший поворот от вектора
к
виден совершающимся против хода часовой
стрелки, в противном случае он – левый.
Условием
коллинеарности векторов
и
является равенство:
,
где
- некоторое число. Условием
компланарности векторов
,
и
является равенство:
,
где
- некоторые числа.
Всякий
геометрический вектор может быть
разложен единственным образом по
векторам базиса, коэффициенты разложения
называются при этом координатами
вектора
в данном базисе. Например, если
- базис
и
,
то всегда существует единственное
разложение:
,
где числа
- координаты вектора
в базисе
,
при этом пишут
.
Если в
зафиксирован ортонормированный базис
и
,
то равносильны записи:
и
(в записи
вектора в координатной форме
ортонормированный базис не указывают).
Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами:
;
.
Декартовой
прямоугольной системой координат
в пространстве
называется совокупность точки
(начало координат) и правого
ортонормированного базиса
и обозначается
.
Прямые
,
,
,
проходящие через начало координат в
направлении базисных векторов, называются
координатными
осями:
первая – осью абсцисс, вторая – осью
ординат, третья – осью аппликат.
Плоскости, проходящие через оси координат,
называются координатными
плоскостями.
Аналогично вводится система координат
на плоскости:
.
Пусть
- произвольная точка пространства, в
котором введена система координат
=
.
Радиус-вектором
точки
называется вектор
,
который всегда единственным образом
можно представить в виде:
.
Числа
,
являющиеся координатами радиус-вектора,
совпадают с проекциями вектора
на базисные орты
и
(на координатные оси
и
).
Координатами
точки
в системе координат
называются координаты её радиус-вектора
и пишут
.
В свою очередь, координаты точки
полностью определяют её радиус-вектор
.
Всякий геометрический вектор
в системе координат
,
всегда можно представить как радиус-вектор
некоторой точки и записать в виде:
.
Длина
вектора
,
заданного координатами
,
определяется формулой:
.
Направляющими
косинусами вектора
называются числа:
,
,
,
при этом
.
Координаты
вектора
,
заданного точками
и
определяются по формуле:
.
Расстояние
между точками
и
определяется как длина вектора
и находится по формуле:
.
Координаты
точки
делящей отрезок
пополам
находятся по формулам:
,
,
.
Скалярным
произведением
векторов
и
называется число
.
Скалярное произведение обладает
свойствами:
1)
;
2)
где
-
число;
3)
;
4)
5)
;
6)
,
,
,
,
,
.
Для векторов
и
,
заданных своими координатами
,
скалярное произведение вычисляется по
формуле:
.
Скалярное
произведение применяют: 1)
для вычисления угла между векторами
и
по формуле:
;
2)
для вычисления проекции вектора
на вектор
по формуле:
;
3)
в качестве условия перпендикулярности
векторов
и
:
.
Векторным
произведением
векторов
и
называется вектор
,
определяемый условиями: 1)
;
2)
и
;
3)
- правая тройка векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора ко второму , виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.
Векторное произведение обладает свойствами:
1)
;
2)
,
где
-
число;
3)
;
4)
5)
;
6)
,
,
,
,
,
.
Для векторов и , заданных координатами , векторное произведение вычисляется по формуле:
.
Векторное
произведение
применяют: 1)
для вычисления площадей треугольника
и параллелограмма, построенных на
векторах
и
,
как на сторонах, по формуле:
; 2)
в качестве условия параллельности
векторов
и
:
.
Смешанным
произведением
упорядоченной тройки векторов
,
и
называется число
.
Смешанное произведение обладает свойствами:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
и
-компланарны
;
5)
,
где
-объём
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
и
.
Для
векторов
,
и
,
заданных координатами
,
,
смешанное произведение вычисляется по
формуле:
.
Смешанное
произведение
применяют: 1)
для вычисления объёмов тетраэдра и
параллелепипеда, построенных на векторах
,
и
,
как на рёбрах, по формуле:
;
2)
в качестве условия компланарности
векторов
,
и
:
и
-
компланарны.