![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Высшего профессионального образования
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Тема 6. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Тема 4. Векторы.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Тема 10. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Тема 10. Неопределённый интеграл.
- •Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 14. Случайные события и их вероятности.
- •Тема 15. Случайные величины.
- •Тема 16. Элементы математической статистики. Предварительная обработка статистических данных.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
Раздел III. Интегральное исчисление.
101-110. Найти неопределённые интегралы: a) непосредственным интегрированием; б) заменой переменной интегрирования; в) интегрированием по частям.
а)
;
б1)
;
б2)
;
б3)
;
в)
;
Нахождение
неопределённого интеграла
состоит в таком преобразовании
подынтегрального выражения
,
чтобы получить интегралы (возможно по
новой переменной интегрирования) из
таблицы основных интегралов (приложение
6.3).
Решение.
а)
Интеграл вычислим непосредственным
интегрированием. Получим:
.
б1) Интеграл вычислим методом замены переменной интегрирования.
Интеграл
вида
,
где
- многочлен порядка
,
находят методом замены переменной с
помощью подстановки
.
б2)
Интеграл относится к интегралам вида
.
Для его вычисления сначала выделим
полный квадрат в знаменателе подынтегральной
функции, затем сделаем замену переменной
интегрирования. Получим:
=[представляем
интеграл в виде суммы интегралов]
.
Вычислим каждый из интегралов в отдельности:
1)
.
2)
Тогда:
.
Конечное
выражение для неопределённого интеграла
записывают, указывая одну из первообразных
и добавляя к ней произвольную постоянную
.
б3)
Интеграл вычислим методом замены
переменной интегрирования. Получим:
.
в)
Интеграл вычислим методом интегрирования
по частям, используя формулу
.
Положим:
,
.
Найдём
,
.
Интеграл
в формуле интегрирования по частям
вычисляется с точностью до постоянной,
т.е. в качестве функции
выбирается одна из первообразных для
функции
.
Для
вычисления интеграла
можно использовать и следующее свойство
неопределённого интеграла: если
,
то
,
где
- табличный интеграл. В данном случае,
так как
,
то
.
Тогда, получим:
Определённый
интеграл для функции
,
непрерывной на отрезке
,
вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница:
,
где
-одна
из её первообразных, используя для
нахождения
все приёмы и методы вычисления
неопределённых интегралов.
Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются:
1)
формула интегрирования по частям
,
где функции
и
непрерывно дифференцируемы на
;
2) формула замены переменной интегрирования
,
где функция
-
непрерывно дифференцируема на отрезке
.
Часто
замена переменной в определённом
интеграле выполняется с помощью
подстановки
по формуле:
,
где функция
-
непрерывно дифференцируема на отрезке
.
111-120.
Требуется
вычислить:
а) определённый
интеграл
;
б)
несобственный интеграл
(или установить его расходимость).
Решение.
а) Определённый интеграл вычислим заменой переменной интегрирования.
Последний интеграл вычисляем также заменой переменной.
.
Ответ:
.
б)
По определению несобственного интеграла
имеем
.
Определенный интеграл, стоящий под
знаком предела, вычислим методом замены
переменной:
Тогда
.
Ответ:
Несобственный интеграл сходится и равен
.
121-130.
Вычислить
площадь
фигуры, ограниченной графиками указанных
функций:
Площадь
фигуры
,
где
- непрерывные на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением, вычисляется по формуле:
.
Площадь
фигуры
где
- непрерывные на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением, вычисляется по формуле:
.
Решение.
1)
Изобразим фигуру
:
2)
Представим
в виде
.
Если
или
,
то фигуру
прямыми, параллельными осям координат,
разбивают на части, такие, чтобы они
имели вид
или
.
При этом площадь фигуры
находят как сумму площадей её частей.
3) Вычислим площадь:
.
Ответ:
.