![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Высшего профессионального образования
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Тема 6. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Тема 4. Векторы.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Тема 10. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Тема 10. Неопределённый интеграл.
- •Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 14. Случайные события и их вероятности.
- •Тема 15. Случайные величины.
- •Тема 16. Элементы математической статистики. Предварительная обработка статистических данных.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: ,
уравнение
нормали
- вид:
.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух дифференцируемых или бесконечно малых или бесконечно больших функций при ( - число или символ ) равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:
.
Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределённостей видов и . На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила.
Раскрытие
неопределённостей видов
,
путём преобразований:
,
приводится к раскрытию неопределенностей видов и .
Функция
называется возрастающей
(убывающей)
на интервале
,
если для любых
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
(
).
Если
функция
дифференцируема на интервале
и
(
)
при всех
,
то функция
возрастает (убывает) на
.
Точка
,
принадлежащая области определения
функции
,
называется критической
точкой
функции,
если в этой точке
или
не существует. Критические точки функции
разбивают её область определения
на интервалы монотонности (интервалы
возрастания и убывания).
Точка
называется точкой
минимума
(максимума)
функции
,
если существует окрестность точки
такая, что для всех точек
этой окрестности выполняется неравенство
(
),
а число
- минимумом
(максимумом)
функции. Точки минимума и максимума
функции называются точками
экстремума,
а значения функции в этих точках –
экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции , то или не существует.
Достаточное
условие экстремума.
Пусть
функция
дифференцируема в окрестности точки
,
в которой
или
не существует. Тогда, если производная
,
при переходе слева направо через точку
:
1)
меняет знак с «+» на «
»,
то
-
точка максимума; 2)
меняет знак с знак с «
»
на «+», то
-
точка минимума; 3)
сохраняет знак, то
не является точкой экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или во внутренних критических точках или на концах отрезка.
Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если её график лежит под касательной (над касательной), проведённой к графику данной функции, в любой точке интервала .
Если
функция
дважды дифференцируема на интервале
и
(
)
при всех
,
то функция является вогнутой (выпуклой)
на
.
Точка
,
принадлежащая области определения
функции
,
называется точкой
перегиба
функции,
если при переходе через неё меняется
направление выпуклости функции. Точка
при этом называется точкой
перегиба графика
функции.
Точка
называется точкой
возможного перегиба
функции
,
если в этой точке
или
не существует. Эти точки разбивают
область определения
функции
на
интервалы выпуклости и вогнутости.
Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то или не существует.
Достаточное
условие перегиба.
Пусть
функция
дважды дифференцируема в окрестности
точки
,
в которой
или
не существует. Тогда, если производная
,
при переходе через точку
меняет знак, то
-
точка перегиба.
Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения функции;
2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;
3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;
4) найти точки пересечения графика с осями координат;
5) найти асимптоты графика функции;
6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;
7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Точка
,
принадлежащая области определения
функции
,
называется стационарной
точкой
функции,
если в этой точке каждая из её частных
производных равна нулю, т.е.
,…,
или
.
Точка
называется точкой
минимума
(максимума)
функции
,
если существует окрестность точки
такая, что для всех точек
этой окрестности выполняется неравенство
(
).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке , то - стационарная точка функции.
Достаточное
условие экстремума.
Пусть
- стационарная
точка дважды дифференцируемой в точке
функции
.
Тогда, если при всевозможных наборах
значений
,
не равных одновременно нулю:
1)
,
то в точке
функция
имеет максимум; 2)
,
то в точке
функция имеет минимум; 3)
принимает как положительные, так и
отрицательные значения, то в точке
функция
не
имеет экстремума.
В
частности, функция
в стационарной точке
,
при условии
,
где
,
,
:
1)
имеет максимум, если
и
;
2)
имеет минимум, если
и
;
3)
не имеет экстремума, если
.