- •Высшего профессионального образования
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Тема 6. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел III. Интегральное исчисление.
- •Раздел IV. Дифференциальные уравнения.
- •Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Тема 4. Векторы.
- •Тема 5. Линии на плоскости.
- •Тема 10. Множества. Числовые множества. Функции.
- •Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.
- •Тема 8. Производная и дифференциал функции.
- •Тема 9. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Тема 10. Неопределённый интеграл.
- •Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 14. Случайные события и их вероятности.
- •Тема 15. Случайные величины.
- •Тема 16. Элементы математической статистики. Предварительная обработка статистических данных.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
Понятие множества. Подмножество. Универсальное множество. Способы задания множеств. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение).
Множества чисел. Действительные числа, модуль числа и его свойства. Числовые промежутки. Окрестность точки.
Понятие функции. Основные способы задания функции. Естественная область определения функции. Явное, неявное, параметрическое задание функции. График функции.
Основные элементы поведения функции (чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, монотонность).
Основные элементарные функции: , , , , ; , ; , ; , , , ; , , , . Основные свойства, графики.
Простейшие элементарные функции: , ; , , их свойства и графики.
Понятие обратной и сложной функций. Элементарные функции.
Функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные, монотонные последовательности.
Понятие предела числовой последовательности, его геометрический смысл. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности. Число .
Понятие числового ряда (ЧР). Частичная сумма и сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды, их свойства. Геометрический и обобщённый гармонический числовые ряды, условия их сходимости и расходимости.
Понятие предела функции в конечной точке и на бесконечности. Понятие односторонних пределов. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в конечной точке.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции, взаимосвязь между ними. Основные свойства бесконечно малых и больших функций. Неопределённые выражения.
Основные свойства пределов функций (о пределах арифметических операций над функциями, имеющими конечный предел; о пределе элементарной функции; о предельном переходе в неравенствах).
Первый и второй замечательные пределы, их применение при вычислении пределов.
Определения непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции, их классификация.
Понятие непрерывности на отрезке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.
Приращение функции. Определение производной и её геометрический смысл. Непосредственное нахождение производной.
Касательная и нормаль к кривой в данной точке, их уравнения. Производные высших порядков.
Дифференциалы функции. Применение первого дифференциала в приближённых вычислениях.
Простейшие правила вычисления производной (постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций).
Правило вычисления производной сложной функции.
Производные основных элементарных функций.
Правило Лопиталя и его применение для раскрытия неопределённостей:
Достаточный признак монотонности функции. Стационарные и критические точки функции. Нахождение интервалов монотонности функции.
Точки локального экстремума (максимума и минимума) и локальные экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия существования локального экстремума функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, их нахождение.
Понятия выпуклости и вогнутости функции. Достаточный признак выпуклости (вогнутости) функции на интервале. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости функции. Точка перегиба графика функции, условия её существования и нахождение.
Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты, условия их существования и нахождение.
Понятие функции 2-х переменных. Естественная область определения ФНП, график функции 2-х переменных, линии уровня.
Частные и полное приращения ФНП. Частные производные первого и высших порядков, их нахождение. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
Дифференциалы ФНП первого и второго порядков, их нахождение. Применение первого дифференциала в приближённых вычислениях.
Стационарные и критические точки. Точки локального экстремума (максимума и минимума) и локальные экстремумы ФНП. Необходимое и достаточное условия локального экстремума ФНП.
Глобальные экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) ФНП в ограниченной и замкнутой области, их нахождение.