- •Сучасна теорія управління методичні вказівки
- •Використання теорії масового обслуговування у керуванні виробництвом
- •2.1. Системи масового обслуговування з відмовами
- •2.1.1. Одноканальна смо
- •З цього виразу визначаємо
- •Враховуючи, що сума ймовірностей завжди дорівнює 1, отримуємо
- •2.1.2. Багатоканальні смо
- •2.2. Системи масового обслуговування з очікуванням
- •Тому середня довжина черги:
- •3. Практичне застосування тмо
- •4. Завдання до лабораторних робіт Лабораторна робота № 1
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •Лабораторна робота № 2
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •Завдання 2
- •Розв’язання
- •6. Приклад виконання лабораторної роботи № 2 Завдання 1
- •Розв’язання
- •Завдання 2
- •Розв’язання
- •Завдання 3
- •Розв’язання
- •7. Література
Розв’язання
Дану задачу можна подати у вигляді одноканальної системи з необмеженою чергою. Граф станів такої системи показаний на рис.9.
S0
S1
S2
Sk+1
Рис.9 .
Стани системи:
S0 – канал вільний (черги немає );
S1 – канал зайнятий (розвантажується одна машина);
S2 – канал зайнятий, у черзі є одне замовлення;
S3 – канал зайнятий, у черзі – два замовлення;
…
Sk+1 – канал зайнятий, у черзі перебувають (k–1) замовлень.
Ця система характеризується нескінченним числом дискретних станів.
Ймовірність обслугування без черги (стан S0)
p0 = 1 –
Ймовірність черги з k замовлень:
pk+1 = k+1 p0.
Якщо умова < 1 (<) не виконується, то стаціонарний режим у розглядуваній системі не утворюється і черга при t росте необмежено.
Проведемо розрахунки за допомогою програми MathcCad.
За результатами розрахунків <1, тобто у системі утворюється стаціонарний режим.
Завдання 3
Частина устаткування виробничої дільниці з часом виходить з ладу і ремонтується. Відмови устаткування, як і терміни ремонту, – випадкові величини. Коли ремонтна бригада вільна, вона відразу приймається за роботу, а коли ремонтники зайняті, устаткування чекає своєї черги. Доки устаткування перебуває у ремонті або очікує ремонту випуск продукції на ньому не відбувається і загальне виробництво зменшується. Слід визначити, яка середня продуктивність ділянки у даних умовах і які міри потрібні для її підвищення. Отже, потрібно знайти оптимальне співвідношення витрат, що пов’язані з очікуванням ремонту, і витратами на збільшення ремонтних бригад.
Розв’язання
Аналітично відомі інтенсивність потоку відмов устаткування і інтенсивність потоку обслугування за зміну. Відомі також втрати за одиницю часу: від простою устаткування – n умовних одиниць, на утримання однієї бригади – m умовних одиниць.
Менеджерів з організації виробничого процесу, цікавить середній час очікування обслугування і середній час обслугування за різної кількості ремонтних бригад s. Також важливо знайти оптимальну кількість ремонтних бригад з урахуванням витрат за одиницю часу на простої і на утримання бригади.
Розрахуємо показники роботи СМО з одним каналом обслуговування.
У разі роботи однієї бригади цю задачу можна подати у вигляді одноканальної системи обслугування з необмеженною чергою:
= / .
При > 1 черга росте необмежено.
При < 1 маємо такі показники.
Ймовірність відсутності черги
p0 = 1– .
Ймовірність черги з k замовлень:
pk+1 = k+1 ( 1 – ) або pk+1 = k+1 p0.
Середній час очікування в системі:
За результатами розрахунків:
Розрахуємо показники СМО для s ремонтних бригад та приймемо рішення про їх оптимальну кількість з урахуванням витрат на простої – n грн за одиницю часу і на утримання бригади – m грн за одиницю часу).
Якщо працює s бригад, задачу можна описати як багатоканальну систему з необмеженою чергою.
Значення / s може бути більше за 1.
Якщо / s 1, тоді черга зростає до нескінченності.
Якщо / s < 1, то існують фінальні ймовірності.
Ймовірність відсутністі черги:
Середня кількість устаткування у черзі:
Cередня кількість устаткування в системі обслуговування
Ws=Wq+1/.
Домноживши ліву і праву частину рівняння на , отримуємо:
Ls = Lq + .
Середній час перебування устаткування у черзі:
Wq = Lq / .
Середній час перебування устаткування в системі:
Ws =( 1 / ) Ls.
Припустимо, що витрати за одиницю часу на простій становлять 7 ум. од., і на утримання однієї бригади – 5 ум. од. Тоді отримуємо такі результати за рзіної кількості бригад (припустимо, що = 1,6, = 0,9, = 1,77 ):
Аналзі результатів. За результатами розрахунків бачимо, що при s = 2: Ws = 17,43, загальні витрати V=717,43 + 52 = =131,99 ум. од.
При s = 3: Ws = 1,5, загальні витрати
V=71,5 + 53 = 25,54 ум од.
При s = 4: Ws = 1,18, загальні витрати V = 71,18 + 54 = = 28,24 ум. од.
Бачимо, що з економічної точки зору вигідно тримати три ремонтні бригади.