Варіанти завдань

№ варіанта	m		
23	7	0,5	2,0

Завдання 3. Ремонтна бригада обслуговує кілька цехів заводу. Аналітично відомі інтенсивність потоку відмов устаткування  і інтенсивність потоку обслугування . Відомі також втрати за одиницю часу: від простою устаткування – n умовних одиниць, на утримання ремонтної бригади  m умовних одиниць.

Менеджерів, які органзіують виробничий процес, цікавить середній час очікування обслугування і середній час обслугування за рзіної кількості бригад s. Також важливо знайти оптимальну кількість бригад з урахуванням витрат за одиницю часу на простої устаткування і на утримання бригад.

1. Розрахувати показники роботи СМО для однієї бригади для показників, наведених нижче.

Варіанти завдань

№ варіанта		
23	1,74	2,16

2. Розрахувати показники СМО для 2,3,...,5 бригад, прийняти рішення про їх оптимальну кількість з урахуванням витрат на простої – n грн за одиницю часу і на утримання однієї бригади – m грн за одиницю часу.

Варіанти завдань

№ варіанта			n	m
23	1,74	0,96	6	4

5. ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ

ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ №1

Завдання 1

Завдання 1 виконується за прикладом 1. Під час виконання цього завдання пропонується використовувати програму MathCad.

Розв’язання

У програмі функція Prybutok(p₁,p₂,p₃,p₄) визначає прибуток від роботи системи.

У блоці Given … Find записана система рівнянь Колмогорова, розв’язання якої містить вектор R.

Вхідні дані та розв’язання для немодифікованої системи масового обслуговування наведені у програмі під заголовком SOLVE 1.

Після модернзіації першої лінії змінюються вхідні дані й за допомою програми під заголовком SOLVE 2 отримуємо результати.

Аналзі результатів. Аналзіуючи значення функції прибутку після модифікації, можна запропонувати до модернзіації першу лінію, оскільки в цьому разі буде отримане найбільше значення прибуткової функції.

Завдання 2

Фірма органзіує телефонний зв’язок. Аналітично відомі інтенсивність потоку замовлень  й інтенсивність потоку обслугування . Слід обгрунтувати оптимальну кількість каналів обслугування.

Відомо, що на телефонну станцію надходить в середньому 1,7 замовлень за 1 хв. А потік обслугування має інтенсивність 0,5 замовлення за 1 хв.

Розв’язання

Дану задачу можна описати n-канальною системою з відмовами. Граф станів такої системи наведений на рис.6.

Стани системи:

S0 – усі канали вільні;

S1 – зайнятий один канал, інші вільні;

S2 – зайняті два канали, інші вільні;

…

Sn – Зайняті усі n каналів.

Рівняння Колмогорова для такої системи:

p₀ = p₁ ;

p₁(+) = p₀  + 2p₂ ;

p₂(+2) = p₁  + 3 p₃ ;

…

p_k(+k) = p _k-1  + (k+1) p_k+1 ;

…

p_n-1(+(n-1) ) = p_n-2  + n p_n ;

р₀ + р₁ + р₂ +…+ р_n = 1.

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо р_{0 ,} р₁ , р₂ ,…, р_n.

За умовами задачі  = 1,7, =0,5. Отже,  /  = 3,4.

Ймовірність обслуговування замовлення, що надходить, для n каналів визначається за формулою:

Q = 1 – p_n = 1 – p₀ ( / )ⁿ/n!, де

p₀ = (1+ /  +( / )² / 2! + ( / )³ / 3! + … + ( / )ⁿ / n! )^1,

p_k = p₀ ( / )^k / k!, (k = 1,2,3,…,n).

Середня кількість зайнятих каналів

K_сер = p₀ ( / )(1 – ( / )ⁿ / n!).

Розрахунки у програмі Mathcad дають змогу побачити, що для двох каналів ( n = 2) отримуємо:

ймовірність обслуговування замовлення Q = 0,43, що становить 43 %;

при цьму середня кількість зайнятих каналів K_сер=1.47, що становить 73,5 % від всіх трьох каналів;

відповідно 26,5 % замовлень, що надходять у систему, отримують відмову.

Збільшимо кількість каналів обслугування до трьох. Отримуємо:

ймовірність обслугування замовлення Q = 0,61, що становить 61 %;

при цьому середня кількість зайнятих каналів K_сер=2,07, що складає 69 % від всіх трьох каналів;

відповідно 31 % замовлень, що надходять у систему, отримують відмову.

У випадку з чотирма каналами Q = 75 %, відсоток зайнятих каналів – 63,8 %,

у випадку з п’ятьма каналами Q = 85,5 %, відсоток зайнятих каналів – 58,1 %,

у випадку з шістьма каналами Q = 92,4 %, відсоток зайнятих каналів – 52,4 %.

Підведемо підсумки.

У разі збільшення каналів з двох до трьох:

кількість зайнятих каналів знижується на 4,5 %;

ймовірність обслугування зростає на 17,6 %.

При збільшенні каналів з трьох до чотирьох:

кількість зайнятих каналів знижується на 5,2 %;

ймовірність обслугування зростає на 14,2 %.

При збільшенні каналів з чотирьох до п’яти:

кількість зайнятих каналів знижується на 5,7 %;

ймовірність обслугування зростає на 10?5 %.

При збільшенні каналів з п’яти до шести:

кількість зайнятих каналів знижується на 5,7 %;

ймовірність обслугування зростає на 6,9 %.

Аналзі результатів. За результатами розрахунків, у динаміці бачимо, що збільшення каналів з двох до трьох є оптимальним, оскільки за мінімального зменшення кількості зайнятих каналів спостерігається максимальний приріст ймовірності обслугування. Подальше збільшення каналів невигідне через простої.