- •Сучасна теорія управління методичні вказівки
- •Використання теорії масового обслуговування у керуванні виробництвом
- •2.1. Системи масового обслуговування з відмовами
- •2.1.1. Одноканальна смо
- •З цього виразу визначаємо
- •Враховуючи, що сума ймовірностей завжди дорівнює 1, отримуємо
- •2.1.2. Багатоканальні смо
- •2.2. Системи масового обслуговування з очікуванням
- •Тому середня довжина черги:
- •3. Практичне застосування тмо
- •4. Завдання до лабораторних робіт Лабораторна робота № 1
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •Лабораторна робота № 2
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •Завдання 2
- •Розв’язання
- •6. Приклад виконання лабораторної роботи № 2 Завдання 1
- •Розв’язання
- •Завдання 2
- •Розв’язання
- •Завдання 3
- •Розв’язання
- •7. Література
Використання теорії масового обслуговування у керуванні виробництвом
Для того, щоб зрозуміти, як роз’язуються задачі керування виробництвом з використанням теорії масового обслуговування (ТМО), розглянемо її основи за допомогою прикладів.
2.1. Системи масового обслуговування з відмовами
Нехай виробнича система складається з двох пристроїв, які виробляють одну і ту саму продукцію. Пристрої в ході роботи можуть виходити з ладу (відмовляти). Пристрій, що відмовляє, відразу починає ремонтуватись. Така система має чотири стани:
Стан S1 – обидва пристрої працюють;
Стан S2 – перший пристрій ремонтується (після відмови), другий працює;
Стан S3 – другий пристрій ремонтується, перший працює;
Стан S4 – обидва пристрої ремонтуються.
Позначимо інтенсивність потоку відмов першого пристрою як 1, інтенсивність потоку відмов другого пристрою – як 2, інтенсивність потоку закінчень ремонтів першого пристрою – як 1, інтенсивність потоку закінчень ремонтів другого пристрою – як 2.
Граф станів такої виробничої системи наведений на р.1.
1
1
2
2
2
2
1
S1
S2
S3
S4
1
Рис.1. Граф станів виробничої системи
Переходи S1S2; S1S3; S2S4; S3S4 здійснюються в результаті відмов у системі. Зворотні переходи є наслідком ремонтних робіт. Відмови і закінчення ремонтів – випадкові величини.
Нехай наявні N однакових систем, які описуються наведеним графом станів (N>>1). Кількість систем, що перебуває у стані Si, дорівнює Npi , де pi – ймовірність перебування системи у стані Si (це твердження то точніше, що більше N). Розглянемо конкретний стан, наприклад S1. З цього стану можливі переходи у стани S2 і S3 – з сумарною ймовірністю 1+2, віднесеною до одиниці часу. У стаціонарному режимі інтенсивність потоку дорівнює ймовірності за кінцевий проміжок часу, поділений на цей проміжок часу.
Розглянемо виходи зі стану S1. Враховуючи наведене, кількість виходів зі стану S1 за одиницю часу у колективі розгядуваних систем:
Np1(1+2).
Загальне правило: кількість переходів зі стану і у стан j (SiSj), що здійснюється за одиницю часу, дорівнює добутку кількості систем у стані Si, помноженому на ймовірність переходу, за одиницю часу.
Входи у стан S1 (рис. 1) здійснюються зі станів S2 і S3. Число входів у стан S1 за одиницю часу становить Np2+ Np3. Оскільки розглядається стаціонарний процес, то кількості виходів і входів для кожного зі станів мають бути збалансовані. Отже, для стану S1 маємо таке рівняння балансу:
Np1(1+2)=Np21+Np32. (1)
Розглянемо баланс входів і виходів для кожного стану і, скорочуючи у рівняннях загальний множник N. Отримуємо такі рівняння відносно ймовірностей p1, p2, p3, p4:
Для стану S1
p1(1+2)=p21+p32 (2)
Для стану S2
p2(1+1) = p11 + p42 (3)
Для стану S3
p3(1+2) = p12 + p41 (4)
Для стану S4:
p4(1+2) = p22 + p31 (5)
Неважко переконатися, що рівняння (5) може бути отримано як сума перших трьох. Замість цього рівняння скористаємося рівнянням р1+р2+р3+р4=1, яке означає, що система з достовірністю знаходиться в будь-якому з чотирьох станів. Отже, приходимо до системи рівнянь:
p1(1+2) = p2 1 + p3 2
p2(1+1)=p11+p42 (6)
p3(1+2) = p1 2 + p41
р1+р2+р3+р4 = 1
Система (6) називається системою рівнянь Колмогорова. Вона дає змогу обчислювати ймовірності знаходження системи у кожному з визначених станів. У теорії потоків, коли швидкість переходу з одного стану в інший є великою, процес функціонування системи описується рівняннями Колмогорова.
Розглянемо СМО з відмовами.
Найпростішим прикладом СМО є автоматична телефонна станція. Якщо абонент, що викликається, зайнятий, даються короткі гудки, очікування безглузде. Залежно від ступеня необхідності обслугування замовлення або залишають систему, або повертаються повторно.