- •Сучасна теорія управління методичні вказівки
- •Використання теорії масового обслуговування у керуванні виробництвом
- •2.1. Системи масового обслуговування з відмовами
- •2.1.1. Одноканальна смо
- •З цього виразу визначаємо
- •Враховуючи, що сума ймовірностей завжди дорівнює 1, отримуємо
- •2.1.2. Багатоканальні смо
- •2.2. Системи масового обслуговування з очікуванням
- •Тому середня довжина черги:
- •3. Практичне застосування тмо
- •4. Завдання до лабораторних робіт Лабораторна робота № 1
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •Лабораторна робота № 2
- •Варіанти завдань
- •Варіанти завдань
- •Завдання 2
- •Розв’язання
- •6. Приклад виконання лабораторної роботи № 2 Завдання 1
- •Розв’язання
- •Завдання 2
- •Розв’язання
- •Завдання 3
- •Розв’язання
- •7. Література
6. Приклад виконання лабораторної роботи № 2 Завдання 1
На підприємстві наявна одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин. Якщо всі місця на площадці очікування зайняті, то наступній машині, що прибула на підприємство, немає місця для очікування. Аналітично було з’ясовано, що на підприємство в середньому за 1 хв прибуває потік машин інтенсивністю , а потік обслугування інтенсивністю визначається тривалістю розвантаження.
Менеджера цікавить ймовірність відмови в обслуговуванні і середній час очікування залежно від місць m.
Розв’язання
Дану задачу можна продати у вигляді одноканальної системи з обмеженою чергою. Число місць у черзі m. Якщо усі місця зайняті, то чергове замовлення, що надходить у систему, отримує відмову. Граф станів такої системи (рис.8):
S0
S1
S2
Sm+1
Рис.8.
Стани системи:
S0 – канал вільний;
S1 – канал зайнятий, іде обслугування, але черги немає;
S2 – канал зайнятий, у черзі є одне замовлення;
S3 – канал зайнятий, у черзі - два замовлення;
…
Sm+1 – канал зайнятий, у черзі перебувають m замовлень.
Рівняння Колмогорова для такої системи:
p0 = p1 ;
( + ) p1 = p0 + p2 ;
…
( + ) pm = pm-1 + pm+1 ;
p0 + p1 + p2 + … + pm + pm+1 = 1.
Введемо позначення = / , отримуємо ймовірність вільного каналу:
р0 = 1 / ( 1 + + 2 + … + m+1 ) = (1 – ) / ( 1 – m+2 );
pk = k p0,
де k = 1,2,3,…,m+1.
Ймовірність відмови – pm+1.
Середня кількість замовлень у черзі:
де pk – ймовірність того, що у черзі перебуває k–1 замовлення.
Середній час очікування у черзі
Wq=Lq / .
Нехай інтенсивність прибуття машин = 2,5, а інтенсивність обслуговування = 1,5.
За результатами розрахунків у програмі MathCad отримуємо = / = 1,667.
Якщо кількість місць у черзі m = 1, то ймовірність відмови pm+1 = 62,5 %, а середній час очікування у черзі дорівнює 0,25 хвилини.
Якщо кількість місць у черзі m = 6 то ймовірність відмови pm+1 = 41,2 %, а середній час очікування у черзі дорівнює 2,5 хвилини.
Видно, що якщо > 1, то за великих значень m ймовірність відмови стабілзіується і стає такою, що дорівнює ( –- 1 ) / .
Для суттєвого зниження ймовірності відмови треба (якщо не можна зменшити ) преходити до багатоканальної системи, тобто робити кілька площадок для розвантаження.
Завдання 2
На підприємство переробної галузі прибувають машини з сировиною.
Аналітично відомі інтенсивність потоку замовлень і інтенсивність потоку обслуговувань (розвантаження машин) . При цьому може утворюватись черга.
Менеджерів по постачанню цікавить ймовірність черг, їх розмір і ймовірність відсутності черги.