1.Похідна.Правила диференціювання.Проміжки зростання та спадання.Алгоритм знаходження.

Похідна - визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля.

Геометричний зміст похідної полягає в тому що, похідна функції обчислена в т. Хо дорівнює коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції даній точці Хо, тобто k=f”(Xo).

Проміжки зростання та спадання— збільшення (зменшення) значень функції при збільшенні значень аргумента. Функція у = f(х) наз. зростаючою (спадною) на відрізку [а, b], якщо для будь-яких х1 і x2, а ? x1 < х2 ? b, виконується нерівність f (х1) < f (х2) [відповідно, f (х1) > f (х2)]

Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції.

2 Критичні точки екстремуми Пром Зрост. Спад.

Критична точка – це область , в якій всі часткові похідні функції дорівнюють нулю.

Точкою Хо називаю точкою мінімуму y=f(x) функції, а саме число yo=f(Xo) мінімумом функції,якщо існує інтервал на якому функція визначена f(x)>f(Xo) для всіх Х не дорХо

Точку Хо називають точкою максимуму y=f(x), а саме число yo=f(Xo)-максимумом функції якщо існує інтервал на якому функція визначена f(x)<f(Xo) для всіх Х не дор. Хо

Загальна назва для точок максимуму і мінімуму — точки екстремуму, а для значень функції в цих точках — екстремуми функції.

3 Проміжки опуклості та точки перегину Нехай крива задана рівнянням , де  - неперервна функція, що має неперервну похідну  на деякому проміжку . Тоді в кожній точці такої кривої можна провести дотичну (ці криві ще називають гладкими кривими).

Візьмемо на кривій довільну точку , де .

  Означення. Якщо існує окіл точки такий, що для всіх  відповідні точки кривої лежать над дотичною, проведеною до кривої в  точці , то крива в точці називається вгнутою догори

Означення. Якщо існує окіл точки  такий, що для всіх  відповідні точки кривої лежать під дотичною, проведеною до кривої в точці , то крива в точці  називається вгнутою донизу

Означення. Точка називається точкою перегину кривої, якщо існує окіл точки  - такий, що для всіх  крива вгнута по один бік, а для всіх  - по другий бік

4 Асимтоти графіка

Нехай крива задана рівнянням , де є неперервною функцією на відрізку . Тоді задана крива всіма своїми точками знаходитиметься в замкненому прямокутнику , де є найбільше значення функції на відрізку .

Якщо функція задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива на нескінченності, "розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії

Означення. Пряма лінія називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої до прямої прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність, тобто

5 Диференціалом функції y=f'(x),наз. головна частина приросту функції. Він дорівнює добутку похідної функції на диференціал аргумента dy=y'*dx. Тоді із формули диференціала одержуємо ,що похідна функції = відношенню диференціалів y'=dy/dx. Щоб обчислити диференціал функції в точці потрібно знайти добуток похідної функції в точці на диференціал аргумента. Df(x0)=f'(x0)*dx. Геометричний зміст диференціала функції. Диференціал функції обчислений в точці x0=приросту ординати дотичної,проведеної до графіка даної функції в точці х0,про умові що диференціал аргумента=приросту аргумента ,де dx=^x. Застосування диференціала . Наближене значення приросту функції в т.х0+^х. Із означення диференціала ^у=dy,тоді приріст функції y=f(x),в т. Х0+^х=^f(x0+^x)=f(x0)^x. Наближене значення функції в точці х0+^х. Із раніше виведеного ^y=y-y0=f(x0+^x)-f(x0)=>f(x0+^x)=f(x0)+^y; ^y =dy=y'dx. Тоді одержимо формулу f(x0+^x)=f(x0)+f'(x0)*^x;

Наближене значення степення(х0+^х)в степені n. Y=x в степені n,тоді (х0+^х)n=х0n+n*x0n-1*^x. 14:16:19

6Схема дослідження графіка функції за допомогою похідної.

1знайти критичні точки 1 роду(зн. Y',y'=0=>x1,x2,x3)

Розбити ОВФ кр. Точок на інтервал та виразити знак у' на кожному з них.

Висновки за схемою теорем 1=5

Записати відповідь у' зростає при хє (- нескін. Х1;х3,+ неск.) у' при хє (х1;х3).

Точки екстремумів:х max=x1.;f(x1)=A (x1;f(x1)-max.

Xmin=x3;f(x3)=B (x3;f(x3)-min.

7Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку [а; b], треба знайти всі локальні максимуми (мінімуми) і порівняти їх зі значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку [а; b].Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення: Д(у) – вказуємо область визначення

у’ – знайдемо похідну

у’ = 0 – знайдемо критичні точки із знайдених критичних точок вибираємо тільки ті, які належать відрізку х є [a;b]

5. знаходимо значення функції в цих критичних точках і на кінцях відрізку

у(х) = у(b)= у(а)= вибираємо із знайдених значень найбільше і найменше значення у вигляді max у (х) =[a;b] min у (х) = [a;b]