18.Однорідні д.Р. Першого порядку

ДР виду F(x;y;y¹)=0 наз однорідним ДР першого порядку якщо його можна подати у вигляді P(x*y)dy=Q(x*y)dx де P(x;y); Q(x;y)— однорідні многочлені однакового степеня

Алгоритм розвязування

1 При необхідності виконати заміну y¹=dy/dx

2 Записати рівняння у вигляді P(x;y)dy=Q(x;y)dx

3 Виконати підстановку y=z*x та dy= (x*dz)+(z*dx)

4 Розвязати одержане ДР з відокремлюваними змінними z та x

5 Одержимо заг. Розвязок у вигляді F₁(z)=F₂(x)+C та вик. Зворотню підстановку z=y/x

6 Одержимо загальний розвязок у вигляді G(y; x)=0 -> y=G(x)+C

7 Якщо є початкові умови то знах. Частинній розвязок

19.Д р іі порядку з сталим коф1цієнтами

Озн 1.Д.Р. виду F(y;y’;y’’)=0 наз. Однорідним ІІ порядку зі сталими коф. Якщо його можна подати у вигляді у’’+р*у’+g*y=0 де р і j деякі числа.

Алгоритм

1скласти характерестичне р-ня виконавши підстановки. y’’=k2 y’=k y=1 тобто хар. Р-ня має вигляд k²+pk+g=0

2розв*язати одержане крадратичне р-ня відносно змінної к

3знайти загальний розв*язок ДР в залежності від випадку

А)якщо d>0 то існують k1/=k2 –єR тод1 заг розв*язком є ф-ія виду у=С1+е^k1x+C2+e^k2x

Б)якщо d=0 то існує k1=k2=k –єR тод1 заг ро зв*язком є ф-ія виду y=e^kx(C1+C2+x)

В)якщо d<0 то існують k1/=k2 –єC √D=√d²i²=di-> k1=α+βi k2=α-βi

тод1 заг ро зв*язком є ф-ія виду y=e^dx(C1*cosβx+C2*sinβx)

4 якщо є початков1 умови то знаходять частинний розв*язок із системи

y=f(x);

y’=f’(x)

20 Комплексні числа,геометрична інтепритація кч

Озн1 Пару дійсних чисел АВ назвемо комплексним числом,множина кч позначається С(при чому R є C)

Геометрична інтепритація КЧ

КЧ АВ можна задати як вектор ОА з координатами(а;в) який має початок в т. О і закінчується в т. А

Одиницею в множині кч є число і – яке є уявною одиницею,при чому і²=-1, і=і, і³=і²*і=-1

* нулем в множині КЧ є (0;0)

* одиницю на множині КЧ є (0;1)=і

*протилежними є КЧ ((а;в) та (-а;-в))

*спряженими є КЧ ((а;в)та(а;-в))

2 1. Тригонометрична форма КЧ КЧ (а;b) задає деякий вектор (а;b)на площині прямокутних координат. Окрім прям. Координат існує полярна система координат в якій будь-яке число(точка) задається координатами (r;φ), де r –довжина полярного радіус-вектора, а φ- кут повороту (полярний кут).

Формули переходу: 1) З прямокутньої системи в полярну r=(a+b)^1/2 Cosφ=a/r Sinr=b/r

2) із полярної в прямокут.

a=r*cos φ b= r*sin φ

Тоді одержимо Z₁=a+bi=r*cos φ*i*r*sin φ=

Z₁=r(cos φ+i sin φ) –тригонометрична форма КЧ

Дії над кч в тригом формі Нехай Z₁=r₁(cos φ₁+i sin φ₁) Z₂=r₂(cos φ₂+i sin φ₂)

Добуток: Z₁* Z₂= r₁+r₂(cos(φ₁+ φ₂)+i sin(φ₁+ φ₂)) Ділення: : Z₁/Z₂= r₁+r₂(cos(φ₁- φ₂)+i sin(φ₁- φ₂)) Піднесення до степеня: zⁿ=rⁿ(cos nφ)+i sin(nφ)

22. Алгебраїчна форма кч

КЧ (а;b) можна подати у вигляді z=a+bi

Дії над КЧ в алгебраїчній формі:

Z₁=a+bi (а, с- дійсні частини, di, bi – уявні) Z₂=с+di

Сума: Z₁+ Z₂= (a+bi)+(с+di)=(a+c)+(b+d)I Різниця: Z₁- Z₂= (a+bi)-(с+di)=(a-c)+(b-d)i

Добуток: Z₁* Z₂=(a+bi)*(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i

Ділення: Z₁/ Z₂=(a+bi)/(c+di)=(a+bi)*(c-di)/(c+di)*(c-di)=(a+bi)*(c-di)/c²+d²