14. Застосування ∫ у фізиці.

Первісною від функції f(x) називається функції F(x), похідна якої дорівнює даній функції F’(x)=f(x). Наприклад, нехай y=x2. Для якої функції x2 служить похідною? Очевидно, для  . Через це первісною від x2 являється функція  . Але не тільки вона. Насправді, похідною від   і взагалі  +С, де С – довільна постійна величина, буде також x2. Отже, будь-яка функція  +С являється первісною від х2. Інтеграл. Відшукання первісних називається невизначеним інтегруванням, а вираз який охоплює множину всіх первісних від даної функції f(x), називається невизначеним інтегралом від f(x)  Задачі що призводять до визначеного інтеграла. До поняття визначеного інтеграла приводять самі різноманітні задачі визначення плоскої фігури, відшукання роботи з перемінної сили, находження шляху по заданій перемінній швидкості та багато інших. Розглянемо деякі з них нижче. Робота перемінної сили. Перейдемо тепер до важливої задачі фізики – до визначення роботи. Нехай під дією деякої сили тіло рухається по прямій лінії, причому напрям сили співпадає з напрямком руху. Потрібно визначити робота, виконану при переміщенні тіла з положення М в положення N.

15. Види диф. Р-нь.

I. Д.Р. виду y’= f(х), яке містить тільки першу похідну функції f(х) наз. найпростішим Д.Р. першого порядку.

Озн5. Знаходження частинного розв. Д.Р. при заданих початкових умовах наз. розв’язком задачі Коші.

II. Д.Р. виду y”= f(х), який містить тільки II похідну та функцію f(х) наз. найпростішим диф. р-ням. другого порядку.

III. Д.Р. показникового росту – це р-ня виду y’=к*у, де к-деяке число і к>0.

IV. Д.Р. показникового вирівнювання це р-ня виду y’=у₀+к*у.

V. Д.Р. гармонічних коливань – це р-ня виду y”=w²*у. w-деяке число.

16.Д.Р першого порядку з відокремлю вальними змінними

Озн.3 Д.Р. виду f(x,y,y¹)=0, наз. Д.Р першого порядку з відокремлю вальними змінними якщо його можна подати у вигляді y¹=f(x)*f₂ (x) або f(y)dy = g(x)dx

Алгоритм

1 Якщо потрібно,то виконують заміну y¹=dy/dx

2 Розділити рівняння на дві частини та відокремити змінні,тобто запис р-ня у вигляді f(y)dy = g(x)dx

3 Про інтегрувати обидві частини рівняння,тобто ∫f(y)dy=∫g(x)dx

4 Знаходять загальний розв’язок в вигляді F(y)=G(x)+C ,якщо можливо то виражають у ,y=G(x) + C

5 Якщо є початкові умови,то знаходять частинний розв’язок

1.

Озн1. Д.Р. виду F(x, y’, y”…yⁿ )=0, яке обов’язково містить похідні або диференціали , а також можливі змінні х та у. озн2. Порядок Д.Р. визначається порядок найстаршої похідної, що входить до р-ня.

Озн3. Загальним розв. Д.Р є функція виду у=f(х, С₁, С₂… С_n), яка перетворює дане р-ня у тотожність, і де С₁ С₂ С_n – деякі числа одержані при інтегруванні. озн4. Щоб знайти частинний розв’язок Д.Р. при заданих початкових умовах потрібно ці умови підставити у загальний розв’язок, обчислити значень констант С₁ , С₂ , С_{n ,} а потім ці значення підставити в загальний розв’язок.

17 Лінійне диференціальне рівняння першого порядку — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

Y(n)(x)+g(n-1)(x)y(n-1)(x)+……+g1(x)y(x)=∫(x)

де gi(x) та ∫(x) — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких gi(x) = ci

Рівняння

Y(n)(x)+g(n-1)(x)y(n-1)(x)+……+g1(x)y(x)=∫(x)

називається однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.