23. Показникова форма кч

Комплексне число можна подати у вигляді z= r*e^jµ

Дії над КЧ: zⁿ=rⁿ*ej^n-µ z_1*z₂₌ r_1*r_2*e^j(µ1+µ2) z1/z2=r1/r2*e^{j(µ1µ2) n}√z=ⁿ√r*e*µ*2πk/n

24 Числові та стапеневі ряди

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {an}=a1,a2,…,an,

Тоді вираз a1+a2+…+an+…=

називають числовим рядом, а доданок an - загальним членом цього ряду.

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду

Властивості збіжних рядів

Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля ( ).

Теорема 2. Якщо ряд збігається, то для будь-якого значення m2 збігається ряд і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів

Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) та. Нехай для всіх значень індексу i виконується aibi . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду.

Теорема 4 (ознака Д’Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами існує границя.Тоді при l1 розбігається.

Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо, то ряд є збіжним.

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , та умовно збіжним, якщо збігається ряд , а ряд розбігається.

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших – розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|

25 .Функціональні ряди. Область збіжності

ряд U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… - називається функціональним, якщо його члени є функціями від Надаючи певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них можуть бути збіжними, інші – розбіжними. Означення. Сукупність тих значень при яких ряд збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.

26. Випадковою подією називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування. Статистична ймовірність (the statistical probability) має властивості:1) Р(А)0 це очевидно, оскільки m0;2) для вірогідної події ;3) якщо події А і В несумісні, то статистична імовірність події С=А+В дорівнює сумі статистичних ймовірностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В).Легко бачити, що формулою (1) можна користуватись лише у випадку скінченних m i n. Якщо m і n нескінченні, то класична імовірність вводиться аксіоматично. Класичною імовірністю Р(А) події А, яка визначається простором елементарних подій , називається числова функція, яка задовольняє такі умови:

1) Р(А)більше рівне 0 2) P(U)=1

3) для несумісних подій А і В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Класичне значення ймовірності

При розрахунках ймовірностей в класичній схемі мають справу з елементами комбінаторики. Основний принцип комбінаторики (правило множення).Нехай треба послідовно виконати к дій. Якщо першу дію можна виконати n1( способами, після чого другу ( n2 ( способами, потім третю ( n3 ( способами і т.д. до к-ї дії, яку можна виконати nк ( способами, то всі к-дій можуть бути виконані n1 ( n2 ( n3( …( nк способами.Комбінації (сполуки) з n елементів по к. Нехай є множина А, що містить n елементів. Тоді число підмножин множини А, що містить к елементів,дорівнює.

Теореми множення імовірностей. Якщо при обчисленні імовірності певної події ніяких інших обмежень, крім сукуп-ності умов S, при яких вона може відбутися чи не відбутися не накладають, то таку імовірність називають безумовною. Якщо накладають і другі додаткові умови, то таку імовірність події називають умовною.

Сумою подій А і В називається подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробовування або події А, або події В, або обох разом С=А+В

Враховуючи означення суми двох подій і поняття несумісних подій, зауважимо, що сумою С двох несумісних подій А і В є подія, яка полягає в здійсненні або події А, або події В. Одночасна поява подій А і В виключена.Теорема. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто Р(а+в)=Р(а)+Р(в).

27. Вибірка — це множина об'єктів, подій, зразків або сукупність вимірів, за допомогою визначеної процедури вибраних з статистичної популяції або генеральної сукупності для участі в дослідженні. Зазвичай, розміри популяції дуже великі, що робить прийняття до уваги всіх членів популяції непрактичним або неможливим. Вибірка представляє собою множину або сукупність певного обсягу, члени якої збираються і статистичні характеристики обчислюється таким чином, що в результаті можна зробити висновки або екстраполяцію із вибірки на всю популяцію або генеральну сукупність.

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової змінної із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного очікування. Нерівність Чебишова дає кількісні характеристики цієї властивості.

28. Випадкова величина - це величина, яка приймає в результаті досвіду одне з багатьох значень, причому поява того чи іншого значення цієї величини до її вимірювання не можна точно передбачити.

Закон розподілу ймовірностей — це поняття теорії ймовірностей, яке для дискретної випадкової величини показує множину можливих подій з ймовірностями їхнього набуття.Закон розподілу часто використовується для характеризування випадкової величини, яка має не дуже велику кількість ралізацій.

29 Вектор - це напрямлений відрізок.

Якщо початок і кінець співпадають, вектор називають нульовим або О Два вектори називають рівними, якщо їх довжини рівні, а напрями співпадають

Вектори, які лежать на паралельних прямих, називають колінеарними. (а якщо ця умова не виконується, то не колінеарними)

Вектори, які лежать в одній площині, називають компланарними (а якщо ця умова не виконується, не компланарними) Дії над векторами:

Додавання векторів Сумою двох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки. Правило паралелепіпеда

Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Властивості додавання: Комутативність асоціативність протилежним

Віднімання векторів

Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо

Множення вектора на число. Добутком на число k називають вектор, який має довжину і співнапрямлений з , якщо k > 0 та протилежний до нього, якщо k < 0. Як видною, при множенні вектора на число, одержуємо колінеарні вектори. Скалярний добуток векторів. Скалярним добутком двох векторів називають число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.