3.1.2Мо непрерывной св

МО непрерывной СВ называют определенный интеграл от произведения СВ на свою функцию плотности распределения вероятностей, взятый по всей области возможных значений СВ.

Пример 3:

СВ X распределена равномерно на отрезке (a,b). Определить M(X).

1. 

2. 

Вероятностный смысл МО: При многократном наблюдении одной и той же СВ в неизменных условиях ее наблюдаемое среднее значение “по вероятности” стремиться к МО.

Механический смысл МО: абсцисса центра тяжести распределения “масс” вероятности

Физический смысл: «истинное» значение многократно измеряемой величины

3.1.3Свойства мо

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

X	x1	x2	+	Y	y1	y2
P	p1	p2		P	g1	g2

X+Y	x1+ y1	x1+ y2	x2+ y1	x2+ y2
P	p1g 1	p1g 2	p2g 1	p2g2

Следствие:

Свойство 5. МО произведения 2-х независимых* СВ равно произведению их МО:

X	x1	x2	+	Y	y1	y2
P	p1	p2		P	g1	g2

X+Y	x1y1	x1y2	x2y1	x2y2
P	p1g 1	p1g 2	p2g 1	p2g2

Следствие: МО произведения n независимых СВ равно произведению их МО

(*) Примечание: Две СВ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая СВ. Несколько СВ называются взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

А теперь вернемся к Примеру 2б, и покажем используя 4-е свойство МО правильность ответа (M(X)=np). Действительно, СВ X можно представить как сумму СВ X_i, каждая из которых характеризует соответствующее число появлений события A в каждом опыте, имеющие одно и тоже МО, равное p (Пример 2а). Тогда:

Замечание 1. Если M(X) существует, X-непрерывная СВ и ее функция плотности f(x) является четной функцией, то M(X)=0

Замечание 2. Если M(X) существует, и если f(x) симметрична относительно некоторой точки x = a, то M(X) = a. МО СВ X есть центр симметрии.

Замечание 3. МО СВ X имеет ту же размерность, что и СВ, а значение M(X) не всегда совпадает с одним из возможных значений СВ, но всегда лежит в интервале (x_min, x_max)

3.1.4Мода и медиана св

МО не является единственной характеристикой положения СВ. Могут дополнительно использоваться мода и медиана СВ.

Модой СВ называют ее наиболее вероятное значение (для непрерывной СВ – max(f(x)) )

Медианой СВ непрерывного типа называют такое значение СВ x_0.5, что вероятности P(x< x_0.5) и P(x> x_0.5) равны между собой и соответственно = 0.5.

• или это абсцисса точки x_0.5, делящей площадь под кривой распределения пополам.

• Или абсцисса точки x, для которой функция распределения F(x)=0.5