Курс лекций «Основы теории вероятностей»

Содержание

Содержание 1

1 Основные понятия теории вероятностей (ТВ). 2

1.1 Предмет ТВ 2

1.2 Виды случайных событий 2

1.3 Вероятность 2

1.4 Относительная частота 4

1.5 Теоремы сложения вероятностей 5

1.6 Теорема умножения вероятностей 5

1.7 Теорема о полных вероятностях 6

1.8 Теорема о повторении опытов 7

1.9 Метод производящих функций 8

2 Случайные величины и их распределения 9

2.1 Понятие случайных величин (СВ) 9

2.2 Дискретная СВ. Закон распределения вероятностей. 9

2.3 СВ непрерывного типа. Плотность распределения вероятностей. 10

2.4 Функция распределения вероятностей. 13

3 Числовые характеристики распределения случайных величин 15

3.1 Математическое ожидание (МО) СВ 15

3.2 Дисперсия СВ. Понятие среднего квадратического отклонения (СКО). 17

3.3 Начальные и центральные моменты. 19

4 Типовые распределения вероятностей 20

4.1 Типовые распределения дискретных СВ 20

4.2 Типовые распределения непрерывных СВ 22

1Основные понятия теории вероятностей (тв).

1.1Предмет тв

ТВ – прикладная математическая наука, изучающая вероятностные закономерности массовых однородных случайных явлений.

Случайное явление – такое, которое при неоднократном повторении одного и того же опыта протекает каждый раз по иному, причем нельзя сказать заранее как оно будет протекать.

Под массовыми понимаются такие явления, которые могут повторяться много раз при одних и тех же условиях.

Совокупность условий протекания явления будем называть «опытом» или «испытанием». Результатом «опыта» или «испытания» является событие.

Различают события:

• Достоверные (Д.С.) – событие, которое обязательно произойдет, если будет соблюдена определенная совокупность условий

• Невозможные (Н/В.С.) – событие, которое заведомо не произойдет, если будет соблюдена определенная совокупность условий

• Случайные (С.С.) – событие, которые при осуществлении совокупности условий, может либо произойти, либо не произойти, т.е. такое, про которое заранее нельзя сказать произойдет оно или нет в результате опыта.

Предметом ТВ являются случайные события (!!) и их вероятностные закономерности, проявляемые в случайных явлениях многократно повторяющихся в неизменных условиях. Но и Д.С. и Н/В.С. рассматриваются в ТВ, т.к. изучаются условия, при которых С.С. может быть практически достоверным или практически невозможным.

1.2Виды случайных событий

В силу тех или иных свойств случайные события могут быть:

1. Совместные и несовместные

2. Единственно возможные и неединственно возможные

3. Равновозможные и неравновозможные

4. Противоположные

Несовместимые - такие С.С. , которые в данных условиях не могут произойти совместно или, иными словами, появление одного из них исключает появление других С.С. в одном и том же опыте.

Совместимые – могут произойти совместно (не жесткое требование!)

Единственно возможные – такая совокупность событий, из состава которой в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно событие.

Единственно возможные несовместимые события составляют полную группу событий.

Два единственно возможных несовместимых события – противоположные.

Равновозможные события в данном опыте – такие, для которых нет никаких оснований считать, что хотя бы одно из них будет более или менее возможным, чем другие.

Равновозможные события из состава полной группы событий называют случаем, элементарным событием или исходом – т.е. это единственно возможные, несовместимые и равновозможные случайные события.