1.3Вероятность

Вероятность это основное понятие ТВ. Вероятность – это число, характеризующее объективную возможность появления события.

А. Классическое определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению события А, к числу всех возможных случаев, образующих полную группу событий. Вероятность события А обозначается, как P(A).

Пример: Ящик с 4-мя белыми и 6-ю черными шарами. Событие А – появление белого шара в результате выбора одного шара из ящика. Случай – выемка любого конкретного шара, т.е. число случаев – 10. Случай благоприятствующий наступлению события А – выемка белого шара. Число таких случаев – 4. Таким образом, P(A) = 4/10 = 0.4.

Это схема непосредственного вычисления вероятности. При определении благоприятных случаев (особенно для сложных событий) очень часто используют формулы комбинаторики:

Перестановки из n-элементов, т.е. количество всех возможных последовательностей этих элементов.

P(n,n) = P_n = n! = (n)_n ( Факториал n = n! = 1*2*3*…*(n-1)*n, 0! = 1)

Размещение n-элементов по m позициям различающихся, либо составом элементов, либо порядком.

P(n,m) = n(n-1)(n-2)….(n-m+1) = n!/(n-m)! = (n)_m

Сочетания из n-элементов групп по m-элементов, различающихся составом (не порядком)

C(n,m) = C_n^m = n!/m!(n-m)!

C_n^m = C_n^n-m

Правило  (суммы): если некоторый объект А может быть, выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В – n способами, то выбрать либо А, либо В можно (n +m) способами.

Правило П (произведения): если некоторый объект А может быть, выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран m способами, то пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

Б. Геометрическая вероятность:

Классическое определение не применимо для испытаний с бесконечным числом исходов. Для его устранения вводят понятие геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть площади и т.д.).

Пусть отрезок l является частью отрезка L. На L «наудачу» поставлена точка, которая равновероятно может оказаться в любом месте (точке) отрезка L. Вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна его длине и не зависит от его расположения относительно L.

P = длина l / длина L;

Аналогично для площадей:

P = площадь g / площадь G;

В. Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события = 1, P(A) = m/n = n/n = 1

2. Вероятность невозможного события = 0, P(A) = 0/n = 0

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. 0 < P(A) < 1

4. Более возможному событию соответствует большая вероятность и наоборот

5. Если вероятность события А велика (близка к 1), то такое событие почти всегда возникает, поэтому его можем считать практически достоверным. Если событие А имеет очень малую (близкую к 0) вероятность, то такое событие наступает очень редко, поэтому его можно считать практически невозможным.

6. Сумма вероятностей противоположных событий = 1

A – m , P(A) = m/n

B – n –m , P(B) = (n-m)/n

P(A+B) = m/n + (n-m)/n = (m + n – n)/n = n/n = 1